Десятковий логарифм

Означення. Логарифмом числа b за основою a , де a > 0 , a ≠ 1 , b > 0 , називається показник степеню, до якого потрібно підвести основу a , щоб отримати число b .

Означення. Десятковий логарифм — логарифм за основою 10.

Іншими словами, десятковий логарифм числа b є розв’язком рівняння 10 x = b .

Позначення. Десятковий логарифм позначається lg x або log₁₀ x .

Калькулятор десяткових логарифмів

Властивості десяткових логарифмів

1. lg x = log₁₀ x – так як основа десяткового логарифма рівна 10.
2. 10 lg b = b .
3. lg 1 = 0
4. lg 10 = 1
5. lg 10 n = n
6. lg( x · y ) = lg x + lg y
7. lg x y = lg x – lg y
8. lg x n = n lg x

Довести рівність: a lg b = b lg a .

Запишемо очевидну рівність:

Піднесемо 10 до відповідного степеню

10 lg b · lg a = 10 lg a · lg b

(10 lg b ) lg a = (10 lg a ) lg b

Знаючи, що lg 2 = a , lg 3 = b , lg 5 = c , виразити lg 6; lg 30; lg 16 через a, b, c.

Використавши формули логарифму добутку та степеню отримаємо:

lg 6 = lg (2·3)= lg 2 + lg 3 = a + b ;

lg 30 = lg (5·2·3)= lg 5 + lg 2 + lg 3 = a + b + c ;

lg 16 = lg 2 4 = 4 · lg 2 = 4 a .

Обчислити log₉ 5 · log₂₅ 27.

log₉ 5 · log₂₅ 27 = lg 5 lg 9 · lg 27 lg 25

Використаємо властивість логарифму степеню lg x n = n lg x :

lg 5 lg 9 · lg 27 lg 25 = lg 5 lg 3 2 · lg 3 3 lg 5 2 = lg 5 2 lg 3 · 3 lg 3 2 lg 5 = 3 4

Обчислити log₃₀ 8, якщо lg 5 = a , lg 3 = b .

log ₃₀ 8 = lg 8 lg 30 = lg 2 3 lg (3 · 10) =

Використаємо властивості логарифму добутку, частки та те що 2= 10 5 :

= 3 lg 2 lg 3 + lg 10 = 3 lg 2 lg 3 + 1 = 3 lg 10 5 lg 3 + 1 = 3(lg 10 – lg 5) lg 3 + 1 = 3(1 – lg 5) lg 3 + 1 =

Підставимо lg 5 = a , lg 3 = b :

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Десятковий логарифм

За основу логарифмів нерідко беруть цифру десять. Логарифмів чисел за основою десять іменують десятковими. При проведенні обчислень з десятковим логарифмом загальноприйнято оперувати знаком lg, а не log; при цьому число десять, що визначають підставу, не вказують. Так, замінюємо log10105 на спрощене lg105; а log102 на lg2.

Для десяткових логарифмів типові ті ж особливості, які є у логарифмів при підставі, більшому одиниці. А саме, десяткові логарифми характеризуються виключно для позитивних чисел. Десяткові логарифми чисел, більших одиниці, позитивні, а чисел, менших одиниці, негативні; з двох від’ємних чисел більшого еквівалентний і більший десятковий логарифм і т. д. Додатково, десяткові логарифми мають відмінні риси і своєрідні ознаки, якими і пояснюється, навіщо в якості основи логарифмів комфортно віддавати перевагу саме цифру десять.

Перед тим як розібрати ці властивості, ознайомимося з нижченаведеними формулюваннями.

Ціла частина десяткового логарифма числа а називається характеристикою, а дробова — мантиссой цього логарифма.

Характеристика десяткового логарифма числа а вказується як [lg], а мантиса як .

Візьмемо, скажімо, lg 2 ≈ 0,3010.Відповідно[lg 2] = 0, ≈ 0,3010.

Подібно і для lg 543,1 ≈2,7349. Відповідно,[lg 543,1] = 2, ≈ 0,7349.

Досить повсюдно вживається обчислення десяткових логарифмів позитивних чисел за таблицями.

Характерні ознаки десяткових логарифмів.

Перший ознака десяткового логарифму. Десятковий логарифм цілого не від’ємного числа, представленого одиницею з наступними нулями, є ціле позитивне число, рівне кількості нулів у запису обраного числа.

Візьмемо, lg 100 = 2, lg 1 00000 = 5.

То а= 10n, з чого отримуємо

Другий ознака. Десятковий логарифм позитивної десяткового дробу, показаний одиницею з попередніми нулями, дорівнює п, де п – чисельність нулів у поданні цього числа, враховуючи і нуль цілих.

Розглянемо, lg 0,001 = – 3, lg 0,000001 =-6.

Третя ознака. Характеристика десяткового логарифма не від’ємного числа, більшого одиниці, дорівнює кількості цифр цілої частини цього числа виключаючи одну.

Розберемо цей ознака 1) Характеристика логарифма lg 75,631 прирівняна до 1.

де б — відома правильна позитивна дріб. І, отже,

Саме це і потрібно було обґрунтувати.

2) Характеристика логарифма lg 5673,1 =3.

За великим рахунком, якщо ціла частина не від’ємного числа а, більшої одиниці, включає п цифр, то

З чого робимо узагальнення

lg 10n -1Десятичный логарифмlgа< lg 10n.,

Четвертий ознака десяткового логарифму. Характеристика десяткового логарифма позитивної десяткового дробу, меншою одиниці, дорівнює – п, де п – число нулів в заданій десяткового дробу перед першою значущою цифрою, включаючи і нуль цілих.

Розберемо. Характеристика логарифма lg 0,0015=-3.

Виходить, lg 0,0015 = – 3 + б, де б – відома правильна позитивна дріб. І таким чином

Характеристика логарифма lg 0,6 = – 1. І в правду вірно.