§2 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ

У цьому параграфі ви дізнаєтесь, що являють собою синус, косинус, тангенс і котангенс кута а, де 0° ≤ а ≤ 180°.

Ви навчитеся за двома сторонами трикутника та кутом між ними знаходити третю сторону, а також за стороною та двома прилеглими до неї кутами знаходити дві інші сторони трикутника. у 8 класі ви навчилися розв’язувати прямокутні трикутники. Вивчивши матеріал цього параграфа, ви зможете розв’язувати будь-які трикутники.

Ви дізнаєтеся про нові формули, за допомогою яких можна знаходити площу трикутника.

2. Синус, косинус, тангенс і котангенс кута від 0° до 180°

Поняття синуса, косинуса, тангенса й котангенса гострого кута вам відомі з курсу геометрії 8 класу. Розширимо ці поняття для довільного кута а, де 0° ≤ а ≤ 180°.

У верхній півплощині координатної площини розглянемо півколо із центром у початку координат, радіус якого дорівнює 1 (рис. 2.1). Таке півколо називають одиничним.

Будемо говорити, що куту а (0° ≤ а ≤ 180°) відповідає точка M одиничного півкола, якщо ∠MOA = а, де точки O і A мають відповідно координати (0; 0) і (1; 0) (рис. 2.1). Наприклад, на рисунку 2.1 куту, який дорівнює 90°, відповідає точка C; куту, який дорівнює 180°, — точка B; куту, який дорівнює 0°, — точка A.

Нехай a — гострий кут. Йому відповідає деяка точка M (x; у) дуги AC одиничного півкола (рис. 2.2). У прямокутному трикутнику OMN маємо:

Оскільки OM = 1, ON = x, MN = у, то

Отже, косинус і синус гострого кута a — це відповідно абсциса й ордината точки M одиничного півкола, яка відповідає куту a.

Отриманий результат підказує, як означити синус і косинус довільного кута a, де 0° ≤ a ≤ 180°.

Означення. Косинусом і синусом кута a (0° ≤ a ≤ 180°) називають відповідно абсцису й ординату точки M одиничного півкола, яка відповідає куту a (рис. 2.3).

Користуючись цим означенням, можна, наприклад, установити, що sin 0° = 0, cos 0° = 1, sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin 180° = 0, cos 180° = -1.

Якщо M (x; y) — довільна точка одиничного півкола, то -1 ≤ x ≤ 1 і 0 ≤ y ≤ І. Отже, для будь-якого кута a, де 0° ≤ a ≤ 180°, маємо:

Якщо a — тупий кут, то абсциса точки, що відповідає цьому куту, є від’ємною. Отже, косинус тупого кута є від’ємним числом. Справедливе й таке твердження: якщо cos a < 0, то a — тупий або розгорнутий кут.

Із курсу геометрії 8 класу ви знаєте, що для будь-якого гострого кута а виконуються рівності:

Ці формули залишаються справедливими також для a = 0° і для a = 90° (переконайтеся в цьому самостійно).

Нехай кутам a і 180° – a, де a ≠ 0°, a ≠ 90° і a ≠ 180°, відповідають точки M (x₁; у₁) і N (x₂; y₂) одиничного півкола (рис. 2.4).

Прямокутні трикутники OMM₁ і ONN₁ рівні за гіпотенузою та гострим кутом (OM = ON = 1, ∠MOM₁ = ∠NON₁ = a). Звідси y₂ = y₁ і x₂ = -x₁. Отже,

Переконайтеся самостійно, що ці рівності залишаються правильними для a = 0°, a = 90°, a = 180°.

Якщо a — гострий кут, то, як ви знаєте з курсу геометрії 8 класу, є справедливою тотожність, яку називають основною тригонометричною тотожністю:

Ця рівність залишається правильною для a = 0°, a = 90°, a = 180° (переконайтеся в цьому самостійно).

Нехай a — тупий кут. Тоді кут 180° – a є гострим.

sin 2 a + cos 2 a = (sin (180° – a)) 2 + (-cos (180° – a)) 2 =

= sin 2 (180° – a) + cos 2 (180° – a) = 1.

Отже, рівність sin 2 a + cos 2 a = 1 виконується для всіх 0° ≤ a ≤ 180°.

Для того щоб порівнювати значення sin a і sin р, а також cos a і cos р, скористаємося такими наочно зрозумілими міркуваннями:

якщо 0° ≤ a < β ≤ 180°, то cos a >cos β (рис. 2.5, 2.6).

Означення. Тангенсом кута a, де 0° ≤ a ≤ 180° і a ≠ 90°, називають відношення

Оскільки cos 90° = 0, то tg a не визначений для a = 90°.

Означення. Котангенсом кута a, де 0° < a < 180°, називають відношення

Оскільки sin 0° = sin 180° = 0, то ctg a не визначений для a = 0° і a = 180°.

Очевидно, що кожному куту a (0° ≤ a ≤ 180°) відповідає єдина точка одиничного півкола. Отже, кожному куту a відповідає єдине число, яке є значенням синуса (косинуса, тангенса для a ≠ 90°, котангенса для a ≠ 0° і a ≠ 180°). Тому залежність значення синуса (косинуса, тангенса, котангенса) від величини кута є функціональною.

Функції f (a) = sin a, g (a) = cos a, h (a) = tg a, p (a) = ctg a, які відповідають цим функціональним залежностям, називають тригонометричними функціями кута a.

Задача 1. Доведіть, що tg (180° – a) = -tg a, ctg (180° – a) =-ctg a.

Задача 2. Знайдіть sin 120°, cos 120°, tg 120°, ctg 120°.

Розв’язання. Маємо: sin120° = sin(180°-60°) = sin 60° = ;

cos120° = cos (180° – 60°) = – cos 60° = – ;

tg 120° = tg (180° – 60°) = – tg 60° = – .

ctg 120° = ctg (180° – 60°) = – ctg 60° = – .

1. Яке півколо називають одиничним?

2. Що називають синусом кута a, де 0° ≤ a ≤ 180°?

3. Що називають косинусом кута a, де 0° < a < 180°?

4. У яких межах знаходяться значення sin a, якщо 0° ≤ a ≤ 180°?

5. У яких межах знаходяться значення cos a, якщо 0° ≤ a ≤ 180°?

6. Чому дорівнює sin (180° – a)? cos (180° – a)?

7. Як пов’язані між собою синус і косинус одного й того самого кута?

8. Що називають тангенсом кута a, де 0° ≤ a ≤ 180° і a ≠ 90°?

9. Що називають котангенсом кута a, де 0° ≤ a ≤ 180°?

2) cos (180° – a), якщо cos a = 0,7;

2.2. Кути а і β суміжні, cos a = – .

2) Який із кутів а і β є гострим, а який — тупим?

2.3. Знайдіть значення виразу:

1) 4 cos 90° + 2 cos 180° – ctg 90°;

2) cos 0° – cos 180° + sin 90° + tg 180°.

2.5. Чому дорівнює синус кута, якщо його косинус дорівнює:

2.6. Чому дорівнює косинус кута, якщо його синус дорівнює:

2.7. Чому дорівнює тангенс кута, якщо його котангенс дорівнює:

2.8. Чому дорівнює котангенс кута, якщо його тангенс дорівнює:

2.9. Знайдіть sin 135°, cos 135°, tg 135°, ctg 135°.

2.10. Знайдіть sin 150°, cos 150°, tg 150°, ctg 150°.

2.11. Чи існує кут a, для якого:

2.14. Чи є правильним твердження (відповідь обґрунтуйте):

1) косинус гострого кута більший за косинус тупого кута;

2) існує тупий кут, синус і косинус якого рівні;

3) існує кут, синус і косинус якого дорівнюють нулю;

4) косинус кута трикутника може дорівнювати від’ємному числу;

5) синус кута трикутника може дорівнювати від’ємному числу;

6) косинус кута трикутника може дорівнювати нулю;

7) синус кута трикутника може дорівнювати нулю;

8) синуси суміжних кутів рівні;

9) косинуси нерівних суміжних кутів є протилежними числами;

10) якщо косинуси двох кутів рівні, то рівні й самі кути;

11) якщо синуси двох кутів рівні, то рівні й самі кути;

12) тангенс гострого кута більший за тангенс тупого кута;

13) тангенс гострого кута більший за котангенс тупого кута?

2.15. Порівняйте з нулем значення виразу:

3) sin 128° cos 2 130° tg 92°;

2.16. Знайдіть значення виразу:

1) 2 sin 120° + 4 cos 150° – 2 tg 135°;

2) 2 cos 2 120° – 8 sin 2 150° + 3 cos 90° cos 162°;

3) cos 180° (sin 135° ctg 30° – cos 135°) 2 ;

4) 2 sin 2 30° + cos 2 60° + sin 2 45° + tg 2 60° – tg 2 120°.

2.17. Чому дорівнює значення виразу:

1) 2 sin 150° – 4 cos 120° + 2 ctg 135°;

2) sin 90° (tg 150° cos 135° + ctg 150° sin 135°) 2 ?

2.18. Знайдіть значення виразу, не користуючись калькулятором:

2.19. Знайдіть значення виразу, не користуючись калькулятором:

2.20. Знайдіть суму квадратів синусів усіх кутів прямокутного трикутника.

2.21. Знайдіть суму квадратів косинусів усіх кутів прямокутного трикутника.

2.24. У трикутнику ABC відомо, що ∠B = 60°, точка O — центр вписаного кола. Чому дорівнює косинус кута AOC?

2.25. Точка O — центр кола, вписаного в трикутник ABC, cos ∠BOC = – . Знайдіть кут A трикутника.

2.26. У непрямокутному трикутнику ABC відомо, що ∠B = 30°, точка H — ортоцентр. Чому дорівнює тангенс кута AHC?

2.27. Точка H — ортоцентр трикутника ABC. Відомо, що cos ∠AHC = – . Знайдіть кут B трикутника.

2.28. Точка O — центр вписаного кола трикутника ABC. Відомо, що sin ∠AOC = . Знайдіть кут B трикутника.

2.29. Точка H — ортоцентр трикутника ABC. Відомо, що sin ∠AHC = . Знайдіть кут B трикутника.

2.30. Точка O — центр описаного кола трикутника ABC. Відомо, що sin ∠AOC = . Знайдіть кут B трикутника.

2.31. Обчисліть ctg5° ctg15° ctg25° ∙ … ∙ ctg75° ctg85°.

2.32. Обчисліть tg10° tg 20° tg30° ∙ … ∙ tg70° tg80°.

Тангенс кута – що це таке і як його знайти в прямокутному трикутнику

У геометрії і тригонометрії трикутник є одним з основних геометричних фігур, який складається з трьох сторін і трьох кутів. Коли мова йде про прямокутний трикутник, особлива увага зосереджується на його кутах та відношеннях між сторонами. Один з таких важливих відношень – це тангенс кута.

У цій статті ми розглянемо, що таке тангенс кута, як його знайти в прямокутному трикутнику та як це використовується у тригонометрії.

Що таке тангенс кута?

Тангенс кута визначається як відношення протилежного катету до прилеглого катету в прямокутному трикутнику.

Іншими словами, якщо у нас є прямокутний трикутник ABC з кутом BAC який дорівнює α, то тангенс кула α дорівнює довжині протилежного катета BC, розділеної на довжину прилеглого катета AС:

Зауваження: якщо позначити довжину сторін AB, BC та AC трикутника ABC буквами c, a і b відповідно, то формула тангенса кута перепишуться у більш зручному для використання вигляді:

Порівняння тангенсу кута з іншими тригонометричними функціями.

Тангенс кута відрізняється від інших тригонометричних функцій, таких як синус і косинус, в тому, що він вимірює відношення катетів, а не протилежного (прилеглого) катета до гіпотенузи. Тангенс кута можна виразити через синус і косинус за допомогою формули:

Тангенси загальних спеціальних кутів.

Тангенс найпоширеніших кутів знаходять, використовуючи пропорції сторін спеціальних трикутників і той факт, що тангенс це відношення синуса до косинуса. Наприклад, ми будемо використовувати рівнобедрений прямокутний трикутник, у якого кути A, B і C рівні 45°, 45° та 90° відповідно.

Ми можемо скористатися теоремою Піфагора: AB 2 =BC 2 +AC 2 . У цьому випадку дві сторони рівні, тобто BC=AC. Отже, маємо AB 2 =2·BC 2 . Це означає, що AB=BC·√2.

Тому і синус, і косинус 45° дорівнюють 1/√2 або √2/2. Оскільки тангенс дорівнює відношенню синуса до косинуса, тангенс 45° дорівнює 1.

Ми також можемо використовувати трикутник 30°–60°–90°, щоб знайти значення синуса 30° і 60°. Пропорції сторін цього трикутника такі: 1:√3:2. Використовуючи ці пропорції, ми маємо sin(30°)=cos(60°)=1/2, а також маємо sin(60°)=cos(30°)=√3/2.​

Властивості тангенса кута.

Тангенс кута має кілька властивостей, які можуть бути корисними при використанні його в різних задачах:

• діапазон значень: значення тангенсу кута можуть бути будь-якими числами, включаючи від’ємні та дробові числа;
• періодичність: значення тангенсу кута повторюються через кожних 180 градусів або π радіан;
• неперервність: тангенс кута є неперервною функцією на своєму діапазоні значень.

Обчислення тангенса кута – приклади з відоповідями.

Наступні приклади вирішуються з використанням вивченого про тангенси кутів. Усі приклади стосуються прямокутного трикутника, зображеного вище.

Приклад 1: обчислити тангенс кута прямокутного трикутника, якщо протилежний катет a дорівнює 4, а прилеглий катет b=3.

Отже, щоб знайти тангенс кута, використовуємо розглянуту вище формулу. В результаті будемо мати:

Таким чином, тангенс кута дорівнює 1.333.

Приклад 2: обчислити тангенс кута, якщо прилеглий катет дорівнює 5, а гіпотенуза 12.

Цей приклад подібний до попереднього, з тією різницею, що спочатку потрібно, за теоремою Піфагора, знайти протилежний катет:

Далі, за формулою тангенса для прямокутного трикутника маємо:

Отже, тангенс кута дорівнює 2.18.

Приклад 3: нехай маємо прямокутний трикутник з кутом α=45 градусів та прилеглим катетом b=15. Знайти протилежний катет.

Щоб знайти протилежний катет a, використовуємо формулу тангенса. Підставляємо відомі значення:

Звідси, протилежний катет дорівнює 15.

Дивіться також:

Тема тангенс кута надзвичайно цікава та корисна для розуміння геометрії та тригонометрії. Однак, є й інші важливі теми, які можуть поглибити ваші знання та сприяти кращому розумінню цієї концепції. Отже, в рамках вивчення тангенса кута, вам можуть бути корисні наступні теми: