§ 4. Закони Кеплера та їхній зв’язок із законами Ньютона

До кінця XVI ст. ученим не вдавалося точно розрахувати відносне положення планет на кілька років уперед за допомогою існуючих у той час теорій. Тоді вчені припускали, що планети рівномірно рухаються по строго колових орбітах навколо Сонця. Кінематичні закони руху планет відкрив лише на початку XVII ст. австрійський астроном і математик Йоганн Кеплер (1571-1630).

Він уперше встановив, що планети обертаються по еліпсах, в одному з фокусів яких є Сонце. Ця закономірність одержала назву першого закону Кеплера.

Відрізок AB (мал. 1.17) називають великою віссю, а відрізок CD — малою віссю еліпса. Відрізки AO = OB = a, CO = OD = b називають відповідно великою і малою півосями еліпса. Відношення

називають ексцентриситетом еліпса. Що більший ексцентриситет еліпса, то більше зміщені фокуси відносно центра і більшою буде різниця між великою та малою півосями. Тобто ексцентриситет слугує мірою «сплюснутості» еліпса.

Для еліпса 0 < e < 1. Якщо e = 0, можна розглядати коло як окремий вид еліпса (b = a). Припустимо, якщо Сонце перебуває у фокусі F₁, то найближчу до Сонця точку A орбіти планети називають перигелієм, а найвіддаленішу B — афелієм. Позначимо AF₁ = q (q — перигелійна відстань), а BF₁ = Q (Q — афелійна відстань).

З малюнка 1.17 випливає, що q + OF₁= a, OF₁ = ae, то q = a – ae = a(1 – e).

Мал. 1.17

У земної орбіти ексцентриситет дорівнює 0,017. Земля перебуває у перигелії на початку січня, і перигелійна відстань дорівнює 147 млн км, а в афелії — на початку липня, й афелійна відстань дорівнює 152 млн км.

Вивчаючи рух Марса в просторі, Кеплер помітив, що планета рухається по орбіті нерівномірно — узимку швидше, ніж улітку. Він став шукати закономірність, за якою відбувається зміна швидкості Марса, і висунув гіпотезу, що швидкість має бути обернено пропорційна відстані від Марса до Сонця. Для перигелію й афелію припущення підтвердилося. Тоді Кеплер умовно розбив орбіту Марса на 360 частин і став перевіряти свою гіпотезу для різних її ділянок. Спостереження та розрахунки показали, що за однакові інтервали часу Марс проходить рівні площі секторів орбіти.

Сучасне формулювання цієї залежності поширене на всі планети, і називають його другим законом Кеплера. Полягає він в такому: радіус-вектор планети (лінія, що сполучає центр Сонця із центром планети) за однакові інтервали часу описує рівні площі.

Другий закон Кеплера, або закон площ, проілюстровано на малюнку 1.18. Під час руху планети (P) навколо Сонця (S) її радіус-вектор за рівні інтервали часу описує однакові за площею фігури — P₁SP₂ і P₃SP₄. Отже, швидкість руху планети по орбіті змінюється, приймаючи максимальне значення в перигелії та мінімальне в афелії. Найбільшу швидкість Земля має взимку: v_max = 30,38 км/с. Найменшу — влітку: v_min = 29,36 км/с. У липні Земля рухається повільніше, тому тривалість літа в Північній півкулі більша, ніж у Південній. Цим пояснюється, що середньорічна температура в Північній півкулі Землі вища, ніж у Південній. Коли б Земля оберталася навколо Сонця зі сталою швидкістю, то кількість днів у цих півріччях була б однакова.

Мал. 1.18

Порівнюючи розміри орбіт і періоди обертання планет навколо Сонця, Кеплер виявив, що квадрати періодів обертання планет пропорційні кубам їхніх середніх відстаней від Сонця (або відношення r 3 : T 2 однакове для всіх планет).

Третій закон Кеплера формулюється так: квадрати сидеричних періодів обертання двох планет відносяться як куби великих півосей їхніх орбіт:

Відкриття Коперника і його послідовників показали, що Земля — це планета, що рухається навколо Сонця, як і інші планети. Тому з’явилося припущення, що сила тяжіння властива не тільки Землі, але й іншим небесним тілам. На матеріальні тіла, що перебувають біля інших планет, Місяця або Сонця, діє сила тяжіння, що спрямована до їхнього центра так само, як і на Землі. Отже, завдяки поширенню властивостей тяжіння на інші небесні тіла було поставлено питання про взаємодію тіл.

На основі дослідних даних Ньютон сформулював три основних закони руху тіл (закон інерції, закон динаміки матеріальної точки, закон дії і протидії). На основі третього закону Кеплера та закону динаміки Ньютон вивів закон всесвітнього тяжіння:

два тіла притягаються одне до одного із силою, пропорційною добутку мас цих тіл і обернено пропорційною квадрату відстані між ними:

де m₁ і m₂ — маси двох тіл, що притягаються одне до одного; r — відстань між ними; G = 6,673 · 10 -11 Н · м 2 /кг 2 — гравітаційна стала.

На основі закону всесвітнього тяжіння та законів механіки Ньютон математично довів, що під дією сили тяжіння (гравітаційної сили) тіло масою m буде рухатися щодо тіла масою M по одній з кривих: еліпсу, колу, параболі або гіперболі.

Таким чином, Ньютон уточнив й узагальнив перший закон Кеплера: під дією тяжіння одне небесне тіло рухається в полі тяжіння іншого небесного тіла по одному з конічних перерізів — еліпсу, колу, параболі або гіперболі.

ЗАПИТАННЯ ДО ВИВЧЕНОГО

• 1. Сформулюйте закони Кеплера.
• 2. По яких орбітах можуть рухатися небесні тіла під дією сили тяжіння?
• 3. Як змінюється значення швидкості при русі планети по орбіті від перигелію до афелію?
• 4. Як залежить період обертання супутників від мас планет?

Дослідіть, яку роль відіграли закони Кеплера у становленні космонавтики.

Розповідь про обертання Землі навколо Сонця

Планети та комети Сонячної системи рухаються навколо Сонця по злегка еліптичних орбітах. Місяці та інші супутники роблять те саме навколо своїх планет. Ця діаграма показує форми орбіт, хоча вона не в масштабі. НАСА

• Фізична географія
• основи
• Політична географія
• Населення
• Інформація про країну
• Ключові цифри та віхи
• Карти
• Міська географія

Рух Землі навколо Сонця був загадкою протягом багатьох століть, оскільки дуже ранні спостерігачі за небом намагалися зрозуміти, що насправді рухається: Сонце по небу чи Земля навколо Сонця. Ідея Сонцецентричної Сонячної системи була висунута тисячі років тому грецьким філософом Аристархом із Самосу. Це було доведено лише після того, як у 1500-х роках польський астроном Микола Коперник не запропонував свою теорію, орієнтовану на Сонце, і не показав, як планети можуть обертатися навколо Сонця.

Земля обертається навколо Сонця по злегка сплющеному колу, яке називається «еліпс». У геометрії еліпс — це крива, яка обертається навколо двох точок, які називаються «фокусами». Відстань від центру до найдовших кінців еліпса називається «великою напіввіссю», а відстань до сплющених «сторін» еліпса — «малою напіввіссю». Сонце знаходиться в одному з фокусів еліпса кожної планети, що означає, що відстань між Сонцем і кожною планетою змінюється протягом року.

Характеристика орбіти Землі

Коли Земля знаходиться найближче до Сонця на своїй орбіті, вона знаходиться в «перигелії». Ця відстань становить 147 166 462 кілометри, і Земля потрапляє туди кожного 3 січня. Потім, 4 липня кожного року, Земля перебуває від Сонця як ніколи далеко, на відстані 152 171 522 кілометрів. Ця точка називається «афелієм». Кожен світ (включно з кометами та астероїдами) в Сонячній системі, який обертається переважно навколо Сонця, має точку перигелію та афелій.

Зауважте, що для Землі найближча точка знаходиться під час зими в північній півкулі, тоді як найвіддаленіша точка – це літо в північній півкулі. Хоча під час обертання нашої планети відбувається невелике збільшення сонячного нагрівання, воно не обов’язково корелює з перигелієм і афелієм. Причини пір року більше пов’язані з нахилом орбіти нашої планети протягом року. Коротше кажучи, кожна частина планети, яка нахилена до Сонця протягом річної орбіти, буде нагріватися сильніше протягом цього часу. Коли він нахиляється, кількість нагрівання стає меншою. Це сприяє зміні пір року більше, ніж місце Землі на її орбіті.

Корисні аспекти орбіти Землі для астрономів

Орбіта Землі навколо Сонця є еталоном відстані. Астрономи беруть середню відстань між Землею та Сонцем (149 597 691 кілометр) і використовують її як стандартну відстань, яка називається «астрономічною одиницею» (або скорочено AU). Потім вони використовують це як скорочення для більших відстаней у Сонячній системі. Наприклад, Марс становить 1,524 астрономічних одиниць. Це означає, що відстань між Землею та Сонцем трохи більше, ніж у півтора рази. Юпітер становить 5,2 астрономічних одиниць, а Плутон — 39,5 астрономічних одиниць.

Орбіта Місяця

Орбіта Місяця також еліптична. Він обертається навколо Землі кожні 27 днів і через припливну фіксацію завжди показує нам одне й те саме обличчя тут, на Землі. Місяць насправді не обертається навколо Землі; вони фактично обертаються навколо загального центру тяжіння, який називається барицентром. Складність орбіти Земля-Місяць та їхньої орбіти навколо Сонця призводить до видимої зміни форми Місяця, якщо дивитися із Землі. Ці зміни, які називаються фазами Місяця , проходять цикл кожні 30 днів.

Цікаво, що Місяць повільно віддаляється від Землі. Зрештою це буде настільки далеко, що такі події, як повне сонячне затемнення, більше не відбуватимуться. Місяць все одно буде закривати Сонце, але він не буде закривати все Сонце, як це відбувається зараз під час повного сонячного затемнення.

Орбіти інших планет

Інші світи Сонячної системи, які обертаються навколо Сонця, мають різну тривалість років через їх відстань. Наприклад, Меркурій має орбіту всього 88 земних днів. Тривалість Венери становить 225 земних днів, а Марса – 687 земних днів. Юпітер обертається навколо Сонця за 11,86 земних років, тоді як Сатурн, Уран, Нептун і Плутон займають 28,45, 84, 164,8 і 248 років відповідно. Ці довгі орбіти відображають один із законів планетарних орбіт Йоганна Кеплера , який говорить, що період часу, необхідний для обертання навколо Сонця, пропорційний його відстані (його великій піввісь). Інші закони, які він винайшов, описують форму орбіти та час, потрібний кожній планеті для проходження кожної частини свого шляху навколо Сонця.

ЗАГАЛЬНІ ЗАКОНОМІРНОСТІ ГЕОГРАФІЧНОЇ ОБОЛОНКИ ЗЕМЛІ

Поверхня Землі якісно відрізняється від її інших оболонок. Променева енергія Сонця, перетворюючись на теплову, взаємодіє з внутрішньою енергією Землі на її поверхні. Саме на поверхні нашої планети найінтенсивніше проявляється рельєфоутворююча дія її внутрішніх сил. Тут найбільш напружено відбуваються процеси, зумовлені сонячною енергією (діяльність води, вітру, льоду тощо). Усі ці процеси разом із внутрішніми силами під впливом сили тяжіння перерозподіляють земні маси, що спричиняє опускання і піднімання певних ділянок земної кори. Нарешті, на поверхні Землі або близько від неї розвивається життя. Вода, повітря, органічні та мінеральні речовини перебувають у комплексній взаємодії.

Поверхня Землі як складний комплекс, що охоплює частину атмосфери й літосфери, гідросферу та середовище життя рослинних і тваринних організмів — біосферу, утворює особливу сферу нашої планети — географічну оболонку. По суті, географічна оболонка — це навколишнє природне середовище, у якому ми живемо, користуємося всіма його благами і, у свою чергу, впливаємо на нього.

ТЕМА 1. ГЕОГРАФІЧНІ НАСЛІДКИ ПАРАМЕТРІВ І РУХІВ ЗЕМЛІ ЯК ПЛАНЕТИ

§ 7. Рухи Землі та їх наслідки

Пригадайте

• які види рухів здійснює Земля як планета

• на чому заснований відлік часу

1. Форма Землі.

Ви вже знаєте, що Земля, як й інші планети, має кулеподібну форму. Унаслідок дії відцентрової сили, яка виникає під час обертання Землі навколо своєї осі, вона дещо сплюснута біля полюсів (див. таблицю). У зв’язку з неоднорідністю речовинного складу й розподілу маси форма Землі сплюснута і на екваторі. Така форма нагадує тривісний еліпсоїд, або сфероїд, але насправді поверхня нашої планети більш складна.

Справжня геометрична фігура Землі не має математичних аналогів і отримала назву геоїд, що в перекладі означає «землеподібний». Поверхня геоїда всюди перпендикулярна до напрямку сили тяжіння та збігається з рівнем поверхні Світового океану.

РОЗМІРИ ЗЕМЛІ

Показник

Значення

Площа поверхні Землі

2. Обертання Землі навколо своєї осі.

Наша планета обертається навколо уявної осі із заходу на схід та здійснює повний оберт за одну добу (23 год 56 хв 4 с). Земна вісь нахилена під кутом 66°33′ до площини орбіти. При цьому вісь орієнтована своїм північним кінцем на Полярну зорю. Середня кутова швидкість обертання (тобто кут, на який зміщується точка на земній поверхні) для всіх широт однакова і становить 15°. Натомість лінійна швидкість різна через різний радіус обертання точок, розташованих на поверхні Землі. Чим менший радіус, тим менша лінійна швидкість. На екваторі кожна точка проходить найбільший шлях і має найбільшу швидкість — 464 м/с.

Найголовніші наслідки добового обертання Землі навколо своєї осі:

• зміна дня й ночі (осьове обертання дає основну одиницю часу — добу). Із цим пов’язаний добовий ритм сонячної радіації, інтенсивність якої залежить від кута нахилу земної поверхні, а також ритмів нагрівання та охолодження поверхні, життєдіяльності організмів;

• деформація форми поверхні Землі (сплющеність біля полюсів);

• відхилення тіл, що рухаються у просторі, зі зміною їх географічної широти. Відхиляючу дію обертання Землі називають силою Коріоліса. У результаті всі тіла, що рухаються поверхнею Землі або поблизу неї, відхиляються від первісного напрямку: у Північній півкулі — праворуч за напрямком свого руху, а в Південній півкулі — ліворуч;

• вісь обертання, полюси та екватор є основою географічної системи координат.

3. Орбітальний рух Землі.

Земля рухається навколо Сонця по еліптичній орбіті завдовжки 934 млн км зі швидкістю приблизно 30 км/с. Цей шлях вона проходить за рік — відрізок часу тривалістю 365 діб 6 год 9 хв 9 с.

Сонце розташоване не в центрі, а в одному з фокусів еліпса орбіти, тому Земля протягом року буває то ближче, то далі від нього (мал. 1).

Мал. 1. Рух Землі навколо сонця по еліптичній орбіті.

Через нахил земної осі до площини орбіти під час орбітального руху Сонце освітлює краще то Північну, то Південну півкулю.

Нерівномірність освітлення та нагрівання земної поверхні спричиняє зміну пір року. Для того щоб краще зрозуміти причини цього процесу, розглянемо положення Землі під час весняного та осіннього рівнодення, зимового й літнього сонцестояння (мал. 1).

Під час весняного й осіннього рівнодення (21 березня і 23 вересня) Сонце перебуває в зеніті над екватором. Його промені падають на екватор під прямим кутом. На північ і на південь від нього проміння падає під однаково меншими кутами. Тому на всій земній кулі (крім полюсів) день дорівнює ночі й триває 12 годин.

У день літнього сонцестояння (22 червня) вісь Землі нахилена північним кінцем до Сонця, і його промені прямовисно падають на паралель 23°27′ пн. ш. — Північний тропік. У цей час на всіх широтах Північної півкулі Сонце займає найвище положення. На північ від паралелі 66°33′ пн. ш., яку називають Північним полярним колом, Сонце за горизонт не заходить. Скрізь у Північній півкулі день довший за ніч, він збільшується від 12 годин на екваторі до 24 годин на полюсі. 22 червня в Північній півкулі розпочинається астрономічне літо, а в Південній — астрономічна зима.

У день зимового сонцестояння (22 грудня) положення Землі протилежне. До Сонця обернена Південна півкуля, і його проміння прямовисно падає на паралель 23°27′ пд. ш. — Південний тропік. Тепер освітленою є вся південна полярна частина від паралелі 66°33′ пд. ш. (Південне полярне коло). У Південній півкулі розпочинається астрономічне літо, а в Північній — астрономічна зима.

Якщо б вісь Землі не була нахилена, то на нашій планеті завжди панувало б рівнодення. Хоча й нині пори року існують не скрізь і мають неоднакову тривалість. Нерівність пір року є одним із наслідків руху Землі по еліптичній орбіті. у перигелії (найближче положення до сонця) Земля перебуває на початку січня, її рух по орбіті в цей час прискорюється, тому зимове півріччя в Північній півкулі коротше, ніж у Південній. Найвіддаленіша точка від сонця має назву афелій.

Унаслідок орбітального руху та нахилу земної осі до площини орбіти на Землі утворилися п’ять поясів освітлення, обмежених тропіками та полярними колами (мал. 2). Вони відрізняються висотою полуденного Сонця над горизонтом, тривалістю дня та тепловими умовами.

Мал. 2. Пояси освітлення, тропіки та полярні кола.

Зміна пір року обумовлює річний ритм у географічній оболонці. У жаркому поясі річний ритм переважно залежить від зміни зволоження, у помірному — від температури, у холодному — від умов освітлення.

4. Основні види часу.

Поява системи відліку часу ґрунтується на спостереженнях за рухом Землі навколо своєї осі та Сонця.

Осьове обертання Землі відбувається із заходу на схід, тому час у будь-якій точці одного й того самого меридіана однаковий. Він називається місцевим (або сонячним) і залежить від довготи певної точки. На різних меридіанах місцевий час відрізняється, при цьому розбіжності залежать від географічної довготи. За одну годину Земля обертається навколо своєї осі на 15° (360° : 24 = 15°). Отже, місцевий час відрізнятиметься на одну годину між точками на меридіанах, розташованих на відстані в 15° за довготою. В одній годині 60 хв, а це означає, що різниця в місцевому часі між точками на меридіанах, розташованими на відстані в 1° за довготою, дорівнює 4 хв (60 хв : 15° = 4 хв). Зрозуміло, що в повсякденному житті таким часом користуватися незручно. Тому було вирішено поверхню Землі умовно поділити на 24 годинні пояси (із нумерацією від 0 до XXIII). Час у межах кожного поясу називають поясним. Відлік поясів ведеться від початкового меридіана на схід. Пояс, посередині якого проходить початковий меридіан, є 0-м. Місцевий час початкового меридіана називають всесвітнім часом. Тобто місцевий час будь-якого пункту на Землі завжди дорівнює сумі всесвітнього часу в цей момент і довготи цього пункту.

Час сусідніх поясів відрізняється на одну годину. Межі поясів не обов’язково проходять чітко за меридіанами — для зручності вони узгоджуються з державними й адміністративними кордонами. У всіх пунктах, розташованих в одному поясі, у кожний певний момент час вважається однаковим, що дорівнює місцевому часу серединного меридіана поясу.

Посередині ХІІ поясу приблизно вздовж 180-го меридіана проходить лінія зміни дат. Від цієї лінії зі сходу на захід починає свій відлік нова доба.

Зауважимо, що для повсякденного користування час сходу та заходу сонця обчислюють за поясним часом. Зрозуміло, що в межах поясу жителі мають брати до уваги певну різницю між реальною появою світила й розрахунками та робити необхідні поправки.

Задача. В Україні 15 листопада Сонце сходить о 7 год 12 хв за поясним часом. Визначте, о котрій годині за місцевим часом у цей день зійде Сонце в Ужгороді.

1) Визначаємо довготу міста з точністю до мінут: 22° 18′ сх. д.

2) Знаходимо різницю в довготі між серединним меридіаном поясу (для України — II) та зазначеного міста: 30° – 22°18′ = 7°42′.

3) Пригадуємо, що місцевий час двох пунктів, відстань між якими за довготою становить 1°, відрізняється на 4 хв, та обчислюємо різницю в часі: 7°42′ · 4 хв = 28 хв + 168 с (≈ 3 хв) = 31 хв.

4) Обчислюємо час сходу Сонця в Ужгороді: 7 год 12 хв + 31 хв = 7 год 43 хв (додаємо, оскільки Ужгород розташований на захід від серединного меридіана поясу).

У багатьох країнах світу з метою ефективного використання світлового дня в літній період запроваджено перехід на літній час, який випереджає поясний на одну годину. Зазвичай літній час вводиться в останню неділю березня і триває до останньої неділі жовтня.

Головне

Основними географічними наслідками осьового обертання Землі є зміна дня й ночі, добова ритмічність природних явищ та процесів, сплюснута біля полюсів форма планети, відхиляюча сила, що впливає на переміщення тіл.

• Головними географічними наслідками орбітального руху Землі є зміна пір року та сезонна ритмічність природних процесів.

• Основні види часу: місцевий, поясний, всесвітній, літній.

Запитання та завдання для самоперевірки

1. Що таке геоїд? Яке практичне значення мають знання про форму та розміри Землі? 2. Назвіть види рухів Землі. укажіть географічні наслідки: 1) обертання Землі навколо своєї осі; 2) обертання Землі навколо сонця. 3. Поясніть причини зміни пір року. Як і чому відрізняється зміна пір року в Північній та Південній півкулях? 4. Наведіть приклади добових і сезонних ритмів у природі. 5. Як встановлюються межі поясів освітлення? 6. Назвіть види часу, поясніть зв’язок між ними.

Практичні завдання

1. Визначте дату та місцевий час у: 1) Лондоні; 2) Нью-Йорку; 3) Сіднеї, якщо в Дніпрі (35° сх. д.) 20 вересня 2 год 30 хв.

2. Установіть, на скільки годин слід перевести стрілки годинника пасажирам, якщо вони прилетіли з Києва до: 1) Рима; 2) Делі; 3) Мехіко.

Працюємо самостійно

Дізнайтеся, як відбувався розвиток системи відліку часу від давніх часів і до наших днів. Дослідіть один із календарів різних часів і народів. установіть недоліки його системи відліку часу.

Дослідження

1. Моделювання природних явищ на Землі в дні рівнодень та сонцестоянь.

2. Прояви сили Коріоліса на річках своєї місцевості.