3.4: Основи та висоти трикутників

Призупиніть вказівки викладача, перш ніж перейти до наступного питання.

1. Намалюйте відрізок лінії, щоб показати висоту обраної основи в кожному трикутнику.

Вправа \(\PageIndex\) : Some Bases Are Better Than Others

Для кожного трикутника визначте та позначте основу та висоту. Якщо потрібно, намалюйте відрізок лінії, щоб показати висоту.

Потім знайдіть площу трикутника. Покажіть свої міркування. (Довжина сторони кожного квадрата на сітці становить 1 одиниця.)

Ви готові до більшого?

Знайдіть площу цього трикутника. Покажіть свої міркування.

Резюме

Висота трикутника – це перпендикулярний відрізок між стороною, обраною в якості основи, і протилежною вершиною. Ми можемо використовувати інструменти з прямим кутом, щоб допомогти нам малювати відрізки висоти.

Індексна картка (або будь-яка жорстка папір з прямим кутом) – зручний інструмент для малювання лінії, яка перпендикулярна іншій лінії.

1. Виберіть сторону трикутника в якості основи. Визначте його протилежну вершину.
2. Вибудовуйте один край індексної картки з цією основою.
3. Просуньте карту вздовж основи, поки перпендикулярний край карти не зустрінеться з протилежною вершиною.
4. За допомогою краю картки проведіть лінію від вершини до основи. Цей сегмент представляє висоту.

Іноді нам може знадобитися розширити лінію основи, щоб визначити висоту, наприклад, при знаходженні висоти тупого трикутника, або коли протилежна вершина не знаходиться безпосередньо над основою. У цих випадках сегмент висоти зазвичай малюється поза трикутником.

Незважаючи на те, що будь-яка сторона трикутника може бути основою, деякі пари базової висоти можна визначити легше, ніж інші, тому це допомагає вибирати стратегічно.

Наприклад, маючи справу з прямокутним трикутником, часто має сенс використовувати дві сторони, які роблять прямий кут як основу і висоту, оскільки одна сторона вже перпендикулярна іншій.

Якщо трикутник знаходиться на сітці і має горизонтальну або вертикальну сторону, ви можете використовувати цю сторону як основу і використовувати сітку, щоб знайти висоту, як у цих прикладах:

Записи глосарію

Кожна пряма сторона багатокутника називається ребром.

Наприклад, ребра цього багатокутника є сегментами \(AB\) \(BC\) , \(CD\) , \(DE\) , і \(EA\) .

Визначення: Протилежна вершина

Для кожної сторони трикутника є одна вершина, яка знаходиться не на тій стороні. Це протилежна вершина.

Наприклад, точка \(A\) – протилежна вершина в сторону \(BC\) .

Вершина – це точка, де зустрічаються два або більше ребер. Коли у нас є більше однієї вершини, ми називаємо їх вершинами.

Вершини в цьому багатокутнику позначені \(A\) \(B\) , \(C\) , \(D\) , і \(E\) .

Практика

Для кожного трикутника маркується основа \(b\) . Намалюйте відрізок лінії, який показує відповідну йому висоту. Використовуйте індексну картку, щоб допомогти вам намалювати пряму лінію.

Виділіть всі трикутники, які мають площу 8 квадратних одиниць. Поясніть, як ви знаєте.

Малюнок \(\PageIndex\) : 5 трикутників на сітці з маркуванням A, B, C, D, E. A основа = 4, висота = 4. B підставу = 4, висота = 4. C підстави = 3, висота = 5. D основа = 4, висота = 4. E основа = 8, висота = 2.

Знайдіть площу трикутника. Покажіть свої міркування.

Якщо ви застрягли, уважно продумайте, яку сторону трикутника використовувати в якості основи.

Чи може сторона \(d\) бути основою для цього трикутника? Якщо так, то яка довжина буде відповідною висотою? Якщо ні, поясніть, чому б і ні.

Знайдіть площу цієї фігури. Покажіть свої міркування.

На сітці накидайте два різних паралелограма, які мають рівну площу. Позначте основу і висоту кожного і поясніть, як ви знаєте, що області однакові.

Трикутник. Формули та властивості трикутників.

Означення. Трикутник – фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з’єднують ці точки. Точки називають вершинами трикутника, а відрізки – його сторонами.

Типи трикутників

За величиною кутів

Тупокутний трикутник – один з кутів трикутника тупий (більше 90°).
Прямокутний трикутник – один із кутів трикутника прямий (рівний 90°).

За кількістю рівних сторін

Рівносторонній трикутник або правильний трикутник – всі три сторони рівні.

Вершини, кути та сторони трикутника

Властивості кутів та сторін трикутника

У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки. Проти рівних сторін лежать рівні кути: якщо α > β , тоді a > b якщо α = β , тоді a = b

Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника більша за довжину сторони, що залишилася: a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусів

Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

Теорема косинусів

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника мінус подвійний добуток цих сторін на косинус кута між ними. a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема про проекції

Для остроугольного треугольника: a = b cos γ + c cos β b = a cos γ + c cos α c = a cos β + b cos α

Формули для обчислення довжин сторін трикутника

Формули сторін через медіани a = 2 3 √ 2( m_b 2 + m_c 2 ) – m_a 2 b = 2 3 √ 2( m_a 2 + m_c 2 ) – m_b 2 c = 2 3 √ 2( m_a 2 + m_b 2 ) – m_c 2

Медіани трикутника

Означення. Медіана трикутника ― відрізок усередині трикутника, який з’єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Властивості медіан трикутника:

Медіани трикутника перетинаються в одній точці. (Точка перетину медіан називається центроїдом)
У точці перетину медіани трикутника поділяються у відношені два до одного (2:1)
Медіана трикутника ділить трикутник на дві рівновеликі частини

Трикутник ділиться трьома медіанами на шість рівновеликих трикутників. S_∆AOF = S_∆AOE = S_∆BOF = S_∆BOD = S_∆COD = S_∆COE

Формули медіан трикутника

Формули медіан трикутника через сторони

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Бісектриси трикутника

Означення. Бісектриса кута — промінь з початком у вершині кута, що ділить кут на два рівні кути.

Властивості бісектрис трикутника:

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від трьох сторін трикутника, – центрі вписаного кола.

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника

Кут між бісектрисами внутрішнього і зовнішнього кутів трикутника при одній вершині дорівнює 90°.
Якщо у трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — равнобедренный.

Формули бісектрис трикутника

Формули бісектрис трикутника через сторони:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

де p = a + b + c 2 – напівпериметр трикутника

Формули бісектрис трикутника через дві сторони і кут:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Висоти трикутника

Означення. Висотою трикутника називається перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на пряму, що містить протилежну сторону.

• бути всередині трикутника – для гострокутного трикутника;
• збігатися з його стороною – для катета прямокутного трикутника;
• проходити поза трикутником – для гострих кутів тупокутного трикутника.

Властивості висот трикутника

Висоти трикутника перетинаються в одній точці, яка називається ортоцентром трикутника.
Якщо у трикутника дві висоти рівні, то трикутник — равнобедренный.

Формули висот трикутника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Формули висот трикутника через дві сторони та радіус описаного кола:

Коло вписане в трикутник

Означення. Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх трьох його сторін.

Властивості кола вписаного в трикутник

Центр вписаного в трикутник кола лежить на перетині бісектрис внутрішніх кутів трикутника.

Формули радіусу кола вписаного в трикутник

Радіус вписаного в трикутник кола дорівнює відношенню площі трикутника до його напівпериметра:

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Коло описане навколо трикутника

Означення. Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно містить усі вершини трикутника.

Властивості кола описаного навколо трикутника

Центр описаного навколо трикутника кола лежить на перетині серединних перпендикулярів до його сторін.

Центр описаного кола лежить усередині гострокутного трикутника, зовні тупокутного трикутника, на середині гіпотенузи прямокутного трикутника.

Формули радіуса кола описаного навколо трикутника

R = S 2 sin α sin β sin γ

Радіус описаного кола через бік та протилежний кут (теорема синусів):

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Зв’язок між вписаним та описании колами трикутника

Середня лінія трикутника

Означення. Середня лінія трикутника — відрізок, що з’єднує середини двох сторін трикутника.

Властивості середньої лінії трикутника

Середня лінія трикутника паралельна до основи і дорівнює її половині.

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

3. Середня лінія відсікає трикутник, подібний до цього, площа якого дорівнює чверті площі вихідного трикутника

4. При перетині всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівні трикутники, подібних (навіть гомотетичних) вихідному з коефіцієнтом 1/2.

Ознаки. Якщо відрізок паралельний одній із сторін трикутника і з’єднує середину сторони трикутника з точкою, що лежить з іншого боку трикутника, цей відрізок – середня лінія.

Периметр трикутника

Периметр трикутника ∆ ABC дорівнює сумі довжин його сторін

Формули площі трикутника

Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутника дорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти

Формула Герона

Формула площі трикутника за двома сторонами та кутом між ними
Площа трикутника дорівнює половині добутка двох його сторін помноженого на синус кута між ними.

Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу описаного кола

Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутника дорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.

Рівність трикутників

Означення. Якщо два трикутники АВС і А₁В₁С₁ можна сумістити накладенням, вони рівні.

Властивість. У рівних трикутників рівні їх відповідні елементи. (У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути, проти рівних кутів лежать рівні сторони)

Ознаки рівності трикутників

Перша ознака рівності трикутників – за двома сторонами та кутом між ними

Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака рівності трикутників – за стороною та двом прилеглим кутам

Якщо сторона і два кути, що прилягають до неї одного трикутника, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака рівності трикутників – за трьома сторонам

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Подібність трикутників

Означення. Подібні трикутники – трикутники відповідні кути яких рівні, а відповідні сторони пропорційні.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

де k – коефіцієнт подібності

Ознаки подоби трикутників

Перша ознака подоби трикутників

Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам іншого, то такі трикутники подібні.

Друга ознака подібності трикутників

Якщо три сторони одного трикутника пропорційні трьом сторонам іншого, такі трикутники подібні.

Третя ознака подоби трикутників

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого, а кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні.

Властивість. Площі подібних трикутників відносяться як квадрат коефіцієнта подібності:

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

© 2011-2024 Довжик Михайло
Копіювання матеріалів з сайту заборонено.

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Як знайти основу у трикутника

Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція – підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.

Контакти

Адміністратор,
розв’язування задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype,facebook:
roman.yukhym

Розв’язування задач
Андрій

facebook:
dniprovets25