Зміст:
✅Як знайти периметр трикутника якщо відомі не всі сторони
Периметр – це величина, що має на увазі довжину всіх сторін плоскої (двовимірної) геометричної фігури. Для різних геометричних фігур існують різні способи знаходження периметра.
У даній статті ви дізнаєтеся як знаходити периметр фігури різними способами, в залежності від відомих його граней.
Периметр – це величина, що має на увазі довжину всіх сторін плоскою (двовимірної) геометричної фігури. Для різних геометричних фігур існують різні способи знаходження периметра.
У даній статті ви дізнаєтеся як знаходити периметр фігури різними способами, в залежності від відомих його граней.
- відомі всі три сторони рівнобедреного або будь-якого іншого трикутника;
- як знайти периметр прямокутного трикутника при двох відомих його гранях;
- відомі дві грані і кут, який розташований між ними (формула косинусів) без середньої лінії і висоти;
Перший метод: відомі всі сторони фігури
Як знаходити периметр трикутника, коли відомі всі три грані, необхідно використовувати наступну формулу: P = a + b + c, де a, b, c – відомі довжини всіх сторін трикутника, P – периметр фігури.
Наприклад, відомі три сторони фігури: a = 24 см, b = 24 см, c = 24 см. Це правильна рівнобедрена фігура, щоб обчислити периметр користуємося формулою: P = 24 + 24 + 24 = 72 см.
Дана формула підходить до будь-якого трикутника, необхідно просто знати довжини всіх його сторін. Якщо хоча б одна з них невідома, необхідно скористатися іншими способами, про які ми поговоримо нижче.
Ще один приклад: a = 15 см, б = 13 см, c = 17 см. Обчислюємо периметр: P = 15 + 13 + 17 = 45 см.
Дуже важливо позначати одиницю виміру в отриманій відповіді. У наших прикладах довжини сторін вказані в сантиметрах (см), проте, існують різні завдання, в умовах яких присутні інші одиниці виміру.
Другий метод: прямокутний трикутник і дві відомі його боку
У тому випадку, коли в завданні, яке потрібно вирішити, дана прямокутна фігура, довжини двох граней якої відомі, а третя немає, необхідно скористатися теоремою Піфагора.
Теорема Піфагора описує співвідношення між гранями прямокутного трикутника. Формула, що описується цією теоремою, є однією з найвідоміших і найбільш часто вживаних теорем в геометрії. Отже, сама теорема:
Сторони будь-якого прямокутного трикутника описуються таким рівнянням:
Гіпотенуза. Вона завжди розташована протилежно прямого кута (90 градусів), а також є найдовшою гранню трикутника. У математиці прийнято позначати гіпотенузу буквою c.
Катети – це межі прямокутного трикутника, які відносяться до прямого кута і позначаються буквами а і b. Один з катетів одночасно є і висотою фігури.
Таким чином, якщо умовами завдання задані довжини двох з трьох граней такої геометричної фігури, за допомогою теореми Піфагора необхідна знайти розмірність третій грані, після чого скористатися формулою з першого методу.
Наприклад, ми знаємо довжину 2-х катетів: a = 3 см, b = 5 см. Підставляємо значення в теорему: 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = c ^ 2 => 9 + 16 = c ^ 2 => 25 = c ^ 2 => c = 5 см. Отже, гіпотенуза такого трикутника дорівнює 5 см. До речі, даний приклад є найпоширенішим і називається «Єгипетський трикутник». Іншими словами, якщо два катети фігури рівні 3 см і 4 см, то гіпотенуза складе 5 см відповідно.
Якщо невідома довжина одного з катетів, необхідно перетворити формулу таким чином: c ^ 2 – a ^ 2 = b ^ 2. І навпаки для іншого катета.
Продовжимо приклад. Тепер необхідно звернутися до стандартної формули пошуку периметра фігури: P = a + b + c. У нашому випадку: P = 3 + 4 + 5 = 12 см.
Третій метод: по обидва боки і кути між ними
У старшій школі, а також університеті, найчастіше доводиться звертатися саме до даного способу знаходження периметра. Якщо умовами завдання задані довжини двох сторін, а також розмірність кута між ними, то необхідно скористатися теоремою косинусів.
Дана теорема застосовна абсолютно до будь-якого трикутника, що і робить її однією з найбільш корисних в геометрії. Сама теорема виглядає наступним чином: c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 – (2 * a * b * cos (C)), де a, b, c – стандартно довжини граней, а A, B і С – це кути, які лежать навпроти відповідних граней трикутника. Тобто, A – кут, протилежний стороні a і так далі.
Уявімо, що описаний трикутник, сторони, а і б якого складають 100 см і 120 см відповідно, а кут, що лежить між ними, складає 97 градусів. Тобто, а = 100 см, б = 120 см, C = 97 градусів.
Все, що потрібно зробити в даному випадку – це підставити всі відомі значення в теорему косинусів. Довжини відомих граней зводяться у квадрат, після чого відомі боку перемножуються між один одним і на два і множаться на косинус кута між ними.
Далі, необхідно скласти квадрати граней і відняти від них другою отримане значення. З підсумкової величини витягується квадратний корінь – це буде третя, невідома до цього сторона.
Після того як всі три грані фігури відомі, залишилося скористатися вже знайомою нам стандартною формулою пошуку периметра описуваної фігури з першого методу.
Таблиця з поясненнями на тему “Як знайти периметр трикутника, якщо відомі не всі сторони”
| Метод | Опис | Приклади та Цікаві Факти |
|---|---|---|
| Застосування теореми Піфагора | Якщо трикутник прямокутний і відомі дві сторони, можна знайти третю сторону за теоремою Піфагора, а потім периметр. | Для прямокутного трикутника з катетами 3 і 4, гіпотенуза буде √(3² + 4²) = 5. Периметр = 3 + 4 + 5 = 12. |
| Застосування законів синусів або косинусів | Якщо відомі дві сторони та кут між ними або одна сторона і два кути, можна застосувати закони синусів або косинусів. | Знайшовши третю сторону, можна обчислити периметр. |
| Півпериметр та формула Герона | Якщо відомі дві сторони та площа трикутника, можна знайти третю сторону через півпериметр та формулу Герона. | Спочатку знаходять півпериметр, потім третю сторону, а після цього – периметр. |
| Лінійні рівняння | У деяких випадках можна використовувати лінійні рівняння для знаходження невідомих сторін, виходячи з інших умов задачі. | Використовується у більш складних задачах, де дані взаємозв’язані лінійними співвідношеннями. |
Висновок
Для знаходження периметра трикутника, коли не всі сторони відомі, існує кілька методів, залежно від того, яка інформація є в наявності. Від теореми Піфагора та законів синусів і косинусів до формули Герона та лінійних рівнянь – важливо вибрати відповідний метод для конкретної задачі. Розуміння цих методів є ключовим для вирішення різноманітних геометричних задач.
Яка формула периметра трикутника?
Тут ти навчишся обчислювати периметр трикутника. Периметр знаходять шляхом додавання довжин усiх сторiн трикутника.
Периметр трикутника
Можна обчислити периметр рiзних типiв трикутникiв.
Рiвностороннi трикутники
Зараз ти познайомишся з рiвностороннiми трикутниками та обчисленням їхнього периметра. Рiвностороннiй трикутник — це трикутник, у якого всi сторони рiвнi за довжиною та всi кути рiвної величини. Оскiльки сума кутiв трикутника дорiвнює 1 8 0 ° , кожен кут становить 1 8 0 ° : 3 = 6 0 ° .
Щоб обчислити периметр рiвностороннього трикутника, достатньо знати довжину однiєї сторони. Оскiльки всi сторони мають однакову довжину, потрiбно просто помножити довжину будь-якої сторони на 3.
У рiвностороннього трикутника всi сторони мають однакову довжину.
Периметр цього рiвностороннього трикутника дорiвнює
Рiвнобедренi трикутники
Зараз ти познайомишся з рiвнобедреними трикутниками. Рiвнобедрений трикутник — це трикутник, двi сторони якого мають однакову довжину. Звiдси слiдує, що два кути також рiвнi. Рiвнi сторони називаємо бiчними сторонами. Третю сторону називають основою.
Для розрахунку периметра рiвнобедреного трикутника достатньо знати довжину однiєї бiчної сторони та основи.
У рiвнобедреного трикутника довжини двох сторiн рiвнi.
Периметр цього рiвнобедреного трикутника дорiвнює
Прямокутнi трикутники
Прямокутний трикутник — це трикутник, який має один прямий кут. Прямий кут – це кут, що дорiвнює 9 0 ° . Жоднi зi сторiн прямокутного трикутника не мають бути однакової довжини. Це означає, що для обчислення периметра прямокутного трикутника, необхiдно знати довжини всiх сторiн.
Периметр цього трикутника дорiвнює
Обчислення периметра часто є простою процедурою. Якщо ти не пам’ятаєш усiх формул, зазначених у блакитних вставках, ти завжди можеш знайти периметр, додавши всi сторони фiгури. Цей метод пiдсумовування можна застосовувати не тiльки для знаходження периметра трикутникiв, а й периметра будь-якої фiгури, що має прямi сторони.