§ 13. Обертальний рух твердого тіла навколо нерухомої осі

Обертальний рух твердого тіла. Досліджуючи обертальний рух твердого тіла, ми зупинимось на випадку, коли тіло обертається навколо нерухомої осі. Під час такого руху всі точки тіла описують концентричні кола, центри яких лежать на осі обертання.

Для дослідження обертального руху твердого тіла розглядатимемо лише точки, що лежать в одній площині, перпендикулярній до осі обертання.

Кінематика обертального руху твердого тіла характеризується вже знайомими нам величинами: кутом повороту Δφ, кутовою швидкістю ω і кутовим прискоренням ε.

Кінематичні рівняння рівноприскореного обертання твердого тіла навколо нерухомої осі мають такий самий вигляд, як і рівняння рівноприскореного обертального руху матеріальної точки:

Досліди з дослідження динаміки обертального руху твердого тіла. Для дослідження динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі розглянемо такі досліди.

Використаємо установку (мал. 91, а), що складається з двох блоків різного радіуса, закріплених на одній осі. До цих блоків прикріплено чотири легкі стержні. На кожному з них розміщуємо тягарець масою m (на однаковій відстані від осі обертання). На один із блоків намотуємо нитку. До вільного кінця нитки підвішуємо тягарець масою M. Під дією сили тяжіння тягарець M опускається, при цьому нитка розкручує блок і вся установка починає обертатися. Дослідимо, як обертається установка за різних значень мас тягарців m та M, а також за їх різного розташування відносно осі.

Мал. 91. Досліди з дослідження обертання твердого тіла

Спочатку, не змінюючи положення й маси тягарців m, збільшуватимемо масу тягарця M, тим самим збільшуючи силу, що діє на установку (мал. 91, б). Спостерігаючи за рухом тягарця M та обертанням установки, можна зробити висновок: що більшою є маса M, а отже, і діюча сила F, то швидше обертається установка. Це означає, що кутове прискорення тіла прямо пропорційне діючій силі.

Не змінюючи маси тягарців m і M та положення малих тягарців на стержнях, намотуватимемо нитку з тягарцем M на блоки різних радіусів (мал. 91, в). При цьому змінюватиметься відстань d від лінії дії сили до осі обертання.

Дослід показує: що більшим є радіус блока, то швидше обертатиметься установка. Це означає, що кутове прискорення залежить не лише від значення прикладеної сили, а й від її плеча.

Не змінюючи масу тягарця M і відстань d, змінюватимемо маси малих тягарців m. Збільшуючи масу тягарців, помічаємо, що установка обертається повільніше, тобто кутове прискорення тіла залежить від маси цього тіла.

Не змінюючи маси всіх тягарців, змінюватимемо положення малих тягарців на стержнях. Дослід показує: що меншою є відстань r, тобто що ближче розташовані тягарці до осі обертання, то швидше за фіксованої (сталої) сили F обертається тіло.

Якщо проводити дослід із секундоміром, то можна визначити, що зі зменшенням відстані r у два рази тягарець M опускається в 4 рази швидше. Це означає, що кутове прискорення тіла, яке обертається, обернено пропорційне квадрату відстані від осі обертання до цього тіла.

Рівняння обертального руху твердого тіла має відображати всі ці досліджувані залежності.

Основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі. Для виведення основного рівняння динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі виділимо невеликий елемент маси цього тіла — точку масою m. Нехай на цю точку масою m, що розташована на відстані r від осі обертання, діє у площині обертання постійна сила F, напрямлена перпендикулярно до радіуса (мал. 92).

Мал. 92. Обертання точки твердого тіла

За другим законом Ньютона F = mа_τ. Оскільки для обертального руху суттєвим є момент сили, то помножимо обидві частини рівняння на r — відстань від осі обертання до лінії дії сили (у нашому випадку r = d): Fr = ma_τr. Оскільки M = Fd, а a_τ = εr, отримуємо: M = mεr 2 .

Величина mr 2 є постійною для заданих значень m та r і називається моментом інерції J точки, що обертається.

Для твердого тіла, що складається з n малих елементів маси, момент інерції можна визначити, додавши моменти інерції всіх елементів:

Таким чином, основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла навколо нерухомої осі має вигляд M = Jε.

Момент інерції. Момент інерції є величиною, що характеризує обертальний рух твердого тіла — це скалярна величина, яка є мірою інертності тіла в обертальному русі навколо цієї осі. Відіграє таку саму роль, як і масса в поступальному русі. Момент інерції матеріальної точки (або елемента маси), що рухається по колу радіусом r, визначається формулою J = mr 2 .

Одиниця моменту інерції — кілограм-метр у квадраті: 1 кг • м 2 .

Момент інерції тіла одночасно враховує вплив на кутове прискорення маси тіла, його форми, геометричних розмірів, розташування осі обертання та розподіл маси по об’єму тіла.

У таблиці 2 наведено моменти інерції деяких однорідних тіл.

Цікаво знати

Можна навести багато прикладів обертання тіл у природі й техніці. Наприклад, дзиґа. Перші свідчення про дзиґу та її незвичайні властивості відомі з давніх-давен. Сучасні іграшки є прототипом тих, що виготовлялись у Китаї ще в III тисячолітті до нової ери. Дзиґа викликає захоплення не лише в дітей (мал. 93).

Мал. 93. Нобелівські лауреати з фізики Нільс Бор і Вольфганг Паулі вивчають дзиґу, що під час обертання стає «з ніг на голову» (31.03.1951)

Властивості дзиґи — її стійкість (незмінність у просторі напрямку осі власного обертання й надзвичайна опірність зовнішнім діям) і прецесія (повільне обертання осі власного обертання дзиґи під дією моменту сил) — стали підґрунтям створення на її основі цілої низки приладів і пристроїв, які називають гіроскопічними (гіроскоп — пристрій, що містить швидкообертове тверде тіло, яке може обертатися навколо трьох взаємно перпендикулярних осей) (мал. 94).

Мал. 94. Гіроскопічні пристрої

Гіроскопи застосовують в авіації, космонавтиці, судноплавстві й навіть у сучасних смартфонах. Наприклад, у транспортних засобах (літаках, кораблях) вільний гіроскоп застосовують як «автокермо». Напрямок руху корабля задається напрямком осі вільного гіроскопа. За будь-яких відхилень корабля від курсу вісь гіроскопа зберігає свій колишній просторовий напрямок, а карданів підвіс повертається щодо корпусу корабля. Поворот рами карданова підвісу відстежується за допомогою спеціальних пристроїв, які видають команди автоматам на поворот керма й повернення корабля на заданий курс.

За допомогою гіроскопа визначається положення смартфона в просторі, що дозволяє, приміром, здійснювати управління в іграх, нахиляючи мобільний пристрій у той чи інший бік.

ЗНАЮ, ВМІЮ, РОЗУМІЮ

• 1. Що таке момент інерції тіла? Від чого залежить момент інерції певного тіла?
• 2. Поясніть досліди з обертання твердого тіла. Які висновки можна зробити з таких дослідів?
• 3. Запишіть основне рівняння динаміки обертального руху твердого тіла.

Експериментуємо

1. Поясніть відмінності в обертанні сирого й круто звареного курячого яйця.

2. Самобалансуючого робота можна сконструювати й самостійно (мал. 95). Спробуйте.

Мал. 95. Самобалансуючі роботи

Приклади розв’язування задач

Розв’язуючи задачі, потрібно застосовувати основне рівняння динаміки та кінематичні рівняння обертального руху, а також формули, що описують властивості сил, які діють між тілами.

Мал. 96. Гальмівна дія сили

Задача 2. Через блок, що має форму диска, масою 0,1 кг та радіусом 0,025 м перекинуто нитку, до кінців якої підвішені вантажі, маси яких 1,2 і 0,8 кг. Визначте різницю сил натягу нитки з обох боків блока та прискорення вантажів. Вважайте, що нитка нерозтяжна і проковзування немає.

Мал. 97. Схематичний малюнок до задачі

physics.zfftt.kpi.ua

Це співвідношення можна подати у векторній формі, аби воно відображало й напрям обертання тіла. Для цього величину dφ розглядають як модуль вектора елементарного кута повороту \( \mathrm\vec \) , який напрямлений уздовж осі обертання згідно з правилом правого гвинта. За цим правилом вектор \( \mathrm\vec \) спрямований у напрямку вкручування правого гвинта при його обертанні в напрямку обертання тіла; подібні вектори називаються аксіальними. Зауважимо також, що відображувати як вектори можна лише нескінченно малі кути повороту . У такому разі замість виразу (2.1) можна записати:

З цього виразу видно, що різні точки обертового тіла рухаються з різними швидкостями, але перший множник під знаком векторного добутку, однаковий для всіх точок, і тому визначає рух не лишень окремої точки, а й усього тіла. Вектор

називається кутовою швидкістю тіла і є кількісною характеристикою обертального руху . Вектор \(\vec <\omega>\) , як і \(\mathrm\vec\) , напрямлений уздовж осі обертання згідно з правилом правого гвинта. Одиницею кутової швидкості є 1 рад/с (радіан за секунду). Кутове прискорення. Зміна вектора кутової швидкості з часом характеризується вектором кутового прискорення \(\vec \) :

Одиницею кутового прискорення є 1 рад/с 2 . При обертанні навколо фіксованої осі вектор \(\vec \) , так само як і вектор \(\vec <\omega>\) , напрямлений уздовж осі обертання (рис. 1.9). Рис. 1.9 У такому разі зручніше використовувати не вектори, а їхні проєкції на вісь обертання О Z:

При цьому, позаяк напрям осі обертання пов’язаний із позитивним напрямом відліку кута повороту правилом правого гвинта. В такому разі знак ω_z визначає напрям обертання, а знак β_z – характер обертання. До прикладу, на рис. 1.9 відображено прискорене обертання в додатньому напрямі осі О Z . Я кщо під час руху вісь обертання змінює напрям, то \(\mathrm\vec <\omega>\) і \(\vec \) напрямлені під кутом до осі). Окремим важливим для практики випадком обертального руху є рівномірне обертання тіла навколо фіксованої осі ( \(\vec=0,\,\,\,\, \vec<\omega>=\mathrm \) ). Такий рух є періодичним, отож окрім кутової швидкості його характеризують періодом Т (с) – проміжком часу, за який здійснюється один оберт, і частотою обертання n (1/с) – кількістю обертів за одиницю часу. Оскільки за один оберт тіло повертається на кут 2π, то

Зв’язок між лінійними та кутовими величинами. При розгляді обертального руху окремих точок твердого тіла величини \(\mathrm\vec \) і \(\vec\) відповідно називають лінійним переміщенням і лінійною швидкістю , на відміну від кутового переміщення \(\mathrm\vec \) та кутової швидкості \(\vec<\omega>\) . Між лінійними та кутовими величинами існують однозначні зв’язки. Зокрема, зв’язок між елементарними лінійним і кутовим переміщеннями задається виразами (2.1) і (2.1а), а зв’язок між лінійною та кутовою швидкістю – виразом (2.2) із урахуванням означення (2.3):

де \( =r\sin\vartheta \) – радіус кола, по якому рухається точка. Вираз для повного прискорення точки через кутові величини знайдемо диференціюванням виразу (2.7):

де враховано, що \(\mathrm\vec<\omega>/\mathrmt=\vec \) – вектор кутового прискорення, а \(\mathrm\vec/\mathrmt=\vec \) – вектор лінійної швидкості. Оскільки при обертанні тіла навколо нерухомої осі вектори \(\vec<\omega >\) і \(\vec \) лежать на осі, то вектор \(\left[\vec,\vec\right] \) має напрям дотичної до траєкторії даної точки тіла (рис. 1.9) і є її тангенціальним прискоренням \(\vec_ \) :

При цьому тангенціальне прискорення точки, що обертається, називається її лінійним прискоренням . Його проєкція на напрям дотичної до кола

Так само друга складова повного прискорення \(\left[\vec<\omega>,\vec\right] \) при нерухомій осі обертання напрямлена по нормалі до траєкторії точки (рис. 1.9), і є її нормальним прискоренням:

На основі співвідношень (2.8а) і (2.9а) можна визначити модуль і напрям ( див. рис. 1.9) повного прискорення точок обертового тіла:

2.2. Загальні рівняння кінематики обертального руху Кутове прискорення тіла, як і прискорення окремої матеріальної точки, визначається силовою дією на обертове тіло з боку інших тіл, отож його можна знайти, аналізуючи фізичні умови, в яких здійснюється обертання. Тому основною завдачею кінематики обертального руху тіла є визначення решти кутових величин через задане кутове прискорення. При обертанні навколо нерухомої осі це завдання розв’язується так само, як і в кінематиці точки (див. п. 1 ). При цьому слід завважити, що за загальним змістом і формальними означеннями кутові величини – переміщення \(\mathrm\vec \) , швидкість \(\vec <\omega>\) і прискорення \(\vec \) – є аналогами відповідних лінійних величин, які характеризують рух матеріальної точки. Тому й зв’язки між кутовими величинами є аналогічними до зв’язків між аналогічними лінійними величинами . Через це всі основні рівняння кінематики обертального руху навколо фіксованої осі мають такий самий загальний вигляд, як і відповідні рівнянням кінематики прямолінійного руху точки. Зокрема, проєкція кутової швидкості визначається загальним рівнянням, аналогічним рівнянню для \(_>\) із (1.24):

де ω _{0 z} – проєкція початкової кутової швидкості, β_z – проєкція кутового прискорення на напрям осі обертання. Звідси при β_z = const отримуємо рівняння

що є аналогом (1.25а). Кут повороту (кутове переміщення) φ , який визначає зміну положення тіла відносно осі обертання, знаходиться із загального рівняння

яке теж є аналогом рівнянь ( 1.25 ) кінематики точки , що визначають зміну положення точки відносно вибраного початку відліку. При рівнозмінному обертанні \(\beta_z=\mathrm \) , і \(\omega_z=\omega_+\beta_z \) . Отже,

Слід зауважити, що в рівняннях (2.11) – (2.12) величина φ є алгебраїчною, тож число φ/2π не визначає кількості обертів N (повний “шлях”), зроблених тілом за час t . (Виняток становить тільки обертання тіла в незмінному напрямі, коли φ не змінює знаку протягом заданого часу руху). В загальному випадку кількість обертів тіла визначається через модуль кутової швидкості рівнянням

яке є аналогом рівняння шляху ( 1.12 ) в кінематиці матеріальної точки. 2.3. Плоский рух твердого тіла. Миттєва вісь Плоским називається такий рух, при якому всі точки тіла переміщуються в площинах, паралельних до певної нерухомої в обраній системі відліку площини. Будемо для зручності умовно називати такі площини “площинами руху” точок тіла. Прикладом плоского руху може бути кочення циліндра: всі його точки рухаються в перпендикулярних до осі площинах.

Швидкість точки тіла при плоскому русі . Нехай якесь тіло здійснює плоский рух. Прослідкуємо за відрізком АВ, який з ’єднує дві точки цього тіла, що знаходяться в площині руху. За деякий проміжок часу відрізок із положення A₁B₁, переміщується в положення A₂B₂ (рис. 1.10). Рис. 1.10 Цю зміну положення можна розглядати як результат поступального переміщення в положення A₂B′ і повороту в площині руху на деякий кут φ навколо точки А ( рис. 1.10а). Але так само можна говорити про поступальне переміщення відрізка в положення A′B₂ та поворот навколо точки В ( рис. 1.10б). При цьому переміщення точок А і В – A₁A₂ і B₁B₂ – не однакові, але кут повороту φ один і той самий. Зрозуміло, що сказане вірно й для будь якої іншої пари точок і для будь-якого проміжку часу, зокрема, й для нескінченно малого. Тому плоский рух твердого тіла можна розглядати як сукупність поступального руху та обертання навколо фіксованої осі перпендикулярної до площин руху точок тіла. При цьому кутова швидкість обертання тіла не залежить від вибору такої осі.

Взявши до уваги сказане, розглянемо рух довільної точки А тіла, що здійснює плоский рух в системі відліку XOY (К-система) так, що точки тіла рухаються в площинах, паралельних XOY ( рис. 1.11). Рис. 1.11 Пов’яжемо з тілом рухому систему відліку X′O′Y′ (K′-система), положення початку відліку котрої O′ в К-системі визначається радіусом-вектором \(\vec_0 \) Положення точки А відносно К-системи відліку визначається радіусом-вектором \(\vec \) , а відносно K′-системи – радіусом-вектором \(\vec‘ \) . Очевидно, що \(\vec=\vec_0+\vec‘. \) Переміщення точки А за нескінченно малий проміжок часу dt \(\mathrm\vec=\mathrm\vec_0+\mathrm\vec‘. \) Переміщення \(\vec‘ \) зумовлене поворотом тіла навколо осі, що проходить через точки O′, тому \(\mathrm\vec‘=\left[\mathrm\vec,\vec‘\right] \) (див. (2.1а)). Отже \(\mathrm\vec=\mathrm\vec_0+\left[\mathrm\vec,\vec‘\right]. \) Поділивши останній вираз на проміжок часу dt , одержимо швидкість точки А в К – системі відліку:

Таким чином, при плоскому русі швидкість довільної точки А твердого тіла складається із швидкості \(\vec_0 \) будь-якої іншої точки O′, що жорстко зв’язана з ним [5] , і лінійної швидкості \(\vec=\left[\vec<\omega>,\vec\right] \) обертального руху точки А навколо осі, що проходить через точку O′ перпендикулярно до площини руху. Миттєва вісь . Оскільки вибір точки O′ є довільним, плоский рух тіла можна звести до чисто обертального. Справді, при плоскому русі вектори \(\vec_0 \) і \(\vec‘ \) перпендикулярні до вектора кутової швидкості \(\vec<\omega>\) , отже обидва лежать в одній площині руху. Тому в кожну мить існує така жорстко зв’язана з тілом точка М, миттєва швидкість якої \(\vec‘ \) в К – системі відліку рівна нулю. ЇЇ радіус-вектор \(<<\vec>_>^<\prime >\) визначається із співвідношення (2.13):

1. 1. Які види рухів може здійснювати тверде тіло? Які з них можна вважати основними?
   2. Які величини використовують для опису обертального руху?
   3. Як напрямлений вектор кутової швидкості твердого тіла?
   4. Як напрямлений вектор кутового прискорення? В якому випадку вектори кутової швидкості та кутового прискорення є колінеарними? Співнапрямленими?
   5. Який зв’язок існує між векторами лінійної та кутової швидкості? Між їх модулями?
   6. Як виражаються тангенціальне, нормальне та повне прискорення точки обертового тіла через кутові характеристики руху?
   7. Виведіть співвідношення (2.11), (2.11а) і (2.12), (2.12а).
   8. Який рух твердого тіла називається плоским? Наведіть декілька прикладів.
   9. Що таке миттєва вісь? Яку перевагу вона дає при розгляді плоского руху тіла?

   physics.zfftt.kpi.ua

   де \(\vec\) – сума сил, які діють на тіло, а \(\vec \) і \(\vec \) – момент імпульсу тіла та сумарний момент діючих сил відносно центра мас. Зауважимо, що при довільному русі тіла ці рівняння є дуже складними для розв’язування. Але задача значно спрощується, якщо тіло рухається вздовж заданої осі ОХ і обертається навколо перпендикулярної осі OZ , як це буває в технічних пристроях. У такому разі рівняння руху записують скалярно в проєкціях на осі:

   2.2. Моменти відносно осі

   Момент імпульсу відносно осі. Момент інерції. Якщо тіло обертається навколо осі О Z і з кутовою швидкістю \(\vec<\omega >\) , то всі його точки масами Δ m_і рухаються по колах відповідних радіусів R_i із швидкостями \( v_i=\omega R_i \) та імпульсами \(\vec

   _i=\Delta_i\vec_i \) , напрямки яких пов’язані з напрямом \(\vec<\omega >\) правилом правого гвинта, як показано на рис. 5.4 для точки, що лежить у площині рисунка. (Контур тіла на рисунку не зображено).
   Рис. 5.4 При цьому її вектор моменту імпульсу \(\vec=\left[\vec_i,\,\,\vec

   _i\right] \) відносно якоїсь точки О на осі обертання лежить у площині рисунка. Тож відносно осі OZ момент імпульсу складає \(<_>=<_>\cos _>=<_>\Delta <_><_>\sin _>=\Delta <_><_>_>=\Delta <_><_>R_^<<\omega >_>\) де враховано, що вектори \(\vec_i \) та \(\vec

   _i \) є взаємно перпендикулярні, \(_>=\left( 90<>^\circ -_> \right)\) та \(<_>\sin _>=_>\) . Відтак момент імпульсу всього тіла відносно осі Z визначається як

   називається моментом інерції І тіла відносно заданої осі. Отже, момент імпульсу твердого тіла відносно осі обертання дорівнює добутку його моменту інерції відносно цієї осі на проєкцію кутової швидкості:

   Збереження моменту імпульсу відносно осі. Поняття моменту імпульсу відносно осі зберігає зміст і для системи тіл, якщо вони обертаються навколо паралельних, осей, або однієї спільної осі. При цьому момент імпульсу системи відносно заданої осі OZ визначається як L_z = ∑I_iω_zi. В такому разі, з рівняння моментів (2.2) випливає, що коли сумарний момент зовнішніх сил М_z = 0 , то

   \( \frac<\mathrmL_z><\mathrmt>=\) \( \Rightarrow \) \( _z=\mathrm \) , тобто, сумарний момент імпульсу тіл системи відносно осі OZ зберігається. При цьому повний момент імпульсу \(\vec=\sum_i\vec_\) може змінюватися з часом. У розгорнутому вигляді і з урахуванням виразу (2.16) закон збереження моменту імпульсу відносно осі можна записати так:

   Величини в лівій та правій частині цього рівняння визначені для спільної осі ОZ і відносяться до двох довільних моментів часу. Цікавий прояв закону збереження моменту імпульсу відносно осі обертання тіла спостерігається при зміні його моменту інерції під дією внутрішніх сил. У цьому випадку завдяки збереженню моменту імпульсу змінюється кутова швидкість обертання тіла:

   Цей ефект, зокрема, широко використовують спортсмени в різних видах спорту. До прикладу, для пришвидшення обертання фігуристка здіймає руки, зводячи їх над головою, або ж притискає їх до тіла, а для уповільнення – розводить в боки.

   Момент сили відносно осі. Розглянемо тепер, як обчислюється момент сили M_z відносно закріпленої (фіксованої) осі обертання тіла. Нехай до деякої точки А тіла, що обертається навколо закріпленої осі OZ, прикладена довільна сила \(\vec\) (рис. 5.5а). Рис. 5.5 Силу \(\vec\) можна розглядати як суму двох складових – перпендикулярної \( <\vec>_\) та паралельної \( <\vec>_<\parallel>\) до осі обертання, так що \( \vec=\vec_+\vec_<\parallel>\) . Неважко збагнути, що складова \(<<\vec>_>\) обертає тіло навколо осі OZ, а \(<<\vec>_<\parallel >>\) намагається повернути саму вісь. Але, оскільки вісь обертання тіла є фіксованою, момент сили \(<<\vec>_<\parallel >>\) компенсується моментом сил реакції \(<\vec>‘\) і \(<\vec>”\) у точках фіксації осі (підшипниках), тож силу \(<<\vec>_<\parallel >>\) можна не враховувати. Крім того, позаяк при переміщенні т. О по осі ОZ відстань О′А = l не змінюється (див рис. 5.5б) , момент сили \( <\vec>_\) , отже, і \(\vec\) , відносно осі не залежить від положення початку відліку і, згідно з означенням (1.6), визначається формулою:

   де \( F_\) – модуль сили \(\vec_\) і \( l \) – плече цієї сили відносно осі обертання, тобто, відстань між віссю обертання та лінією дії сили. Знак у виразі (2.7) збігається із знаком проєкції вектора \(\vec’_\) на вісь OZ. Цю формулу можна подати й інакше, якщо врахувати, що \( l=R\cos\alpha \) , де α – кут між вектором \(\vec_\) й ортом \(\tau \) напрямку обертання точка А по колу, і що \( F\cos\alpha=F_\) – то є проєкція сили \(\vec_\) (і \(\vec\) ) на орт \(\vec\) :

   2.3. Рівняння динаміки обертального руху

   де \( I \) – момент інерції тіла відносно осі обертання, \(\beta_z \) – проєкція кутового прискорення на цю вісь. Рівняння (2.8) як за формою, так і за змістом, є аналогом основного рівняння динаміки матеріальної точки (розділ ІІ, (1.5)) і називається основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла. Воно дозволяє визначити кутове прискорення, а відтак за допомогою рівнянь кінематики (розділ І, (2.11) , (2.12)) — інші характеристики обертального руху твердого тіла. З рівняння (2.8) випливає ще й те, що момент інерції тіла при обертальному русі відіграє таку саму роль, як маса при поступальному русі, тобто, момент інерції є мірою інертності тіла щодо обертання навколо заданої осі. При цьому така “обертальна” інертність залежить не тільки від маси тіла, а й від її розподілу відносно осі обертання. Укажемо й на те, що рівняння (2.8) використовується замість загального рівняння моментів і при розгляді більш складних рухів твердого тіла за умови, що їхня обертова складова відбувається навколо незмінної за напрямом осі..

   2.4. Обчислення моменту інерції. Теорема Штайнера

   Згідно з формулою (2.15) момент інерції визначається не тільки величиною маси тіла, але й розташуванням окремих його частин відносно осі обертання, внаслідок чого момент інерції одного й того ж тіла має різні значення відносно різних осей. Тому для застосування рівняння (2.18) спочатку треба визначити момент інерції тіла відносно заданої осі. Для довільного тіла ця задача аналітично не розв’язується, і момент інерції доводиться визначати дослідним шляхом. Але для тіл симетричної форми та із симетричним розподілом маси момент інерції можна обчислити. Для цього, найперше, треба взяти до уваги, що маса суцільного тіла неперервно розподілена по об’єму, і тому вираз (2.15) має тільки символічний зміст. Для реальних обчислень замість малих частинок тіла Δm треба розглядати елементарні маси dm, і дискретне додавання замінити інтегруванням:

   де r – відстань від даної точки тіла до осі, відносно якої обчислюється момент інерції, ρ(r) – густина речовини тіла в даній точці, яка в загальному випадку може залежати від r, і dV – об’єм нескінченно малої ділянки тіла в околі даної точки.

   Як приклад обчислимо момент інерції однорідного тонкого стрижня маси т і довжини \(\) відносно перпендикулярної до нього осі, що проходить через центр інерції О (центр мас), та відносно паралельної осі O′, що розташована на довільній відстані а від точки О (рис. 5.6). Рис. 5.6 Напрямимо координатну вісь r уздовж стрижня й розмістимо початок відліку в його центрі мас О, тобто посередині. На довільній відстані r від початку відліку виділимо нескінченно малу ділянку стрижня довжини dr, маса якої дорівнює \(\mathrmm=(m/l)\cdot\mathrmr \) . Тоді для осі О, згідно з (2.19), і, враховуючи координати кінців стрижня А та В, отримаємо:

   При обчисленні моменту інерції \(\) стрижня відносно осі O′ координата r відраховується від точки O′, тож \(\) і \(\) . Отже, \(=\int\mathrmm=\frac\int\limits_^r^2\mathrmr=\frac+ma^2 \) . У цьому виразі перший доданок – то є момент інерції стрижня \(\) відносно осі, що проходить через центр мас, тобто:

   Можна довести, що цей результат є чинним і для будь-якого іншого тіла, незалежно від його форми. Він складає теорему Штайнера : момент інерції довільного тіла відносно заданої осі дорівнює сумі його моменту інерції відносно паралельної осі, що проходить через центр мас, та добутку маси тіла на квадрат відстані між цими осями. Ця теорема полегшує знаходження моментів інерції симетричних тіл відносно осей, паралельних до осей симетрії тіла. На завершення наведемо вирази моментів інерції I ₀ деяких однорідних симетричних тіл відносно осей, що проходять через центр інерції і є осями симетрії тіла:

   Тіло	Вісь	Момент інерції I 0
   Тонки стрижень довжини l	Перпендикулярна до стрижня	\(\fracml^2 \)
   Суцільний циліндр радіуса R	Співпадає з віссю циліндра	\(\fracmR^2 \)
   Суцільна куля радіуса R	Проходить через центр кулі	\(\fracmR^2 \)
   Суцільний однорідний конус із радіусом основи R	Співпадає з віссю конуса	\(\fracmR^2 \)

   2.5. Кінетична енергія твердого тіла Окрім імпульсу та моменту імпульсу, важливою характеристикою стану руху твердого тіла є кінетична енергія, яка складається з кінетичних енергій всіх його точок. Але, позаяк різні точки твердого тіла рухаються не однаково, безпосередній розрахунок його кінетичної енергії в загальному випадку є неможливим. Виняток становлять тільки найпростіші рухи: поступальний, обертальний навколо фіксованої осі та рух, який є їхньою сукупністю. Кінетична енергія поступального руху. Кінетична енергія є адитивною величиною і за будь-яких умов для твердого тіла визначається виразом:

   де Δm_i і v_i – маси та швидкості окремих частинок тіла. Позаяк при поступальному русі всі точки тіла, включно з центром мас, в кожен момент часу мають однакову швидкість v_i = v_с, і \(\sum_>=m>\) , то кінетична енергія поступальнлього руху тіла

   Кінетична енергія обертального руху. Якщо тіло обертається навколо нерухомої осі, всі його точки рухаються по колах відповідних радіусів R_i з однаковою кутовою швидкістю ω, і лінійними швидкостями v_i = ωR_i . Тому, згідно з (2.23), кінетична енергія тіла

   Вираз у дужках є моментом інерції тіла I відносно осі обертання (див. (2.15)), отже, кінетична енергія обертального руху твердого тіла визначається формулою

   Варто черговий раз звернути увагу на те, що ці формули теж можна отримати з відповідних формул механіки точки K = (mv 2 /2) i K = (p 2 /2m) заміною лінійних величин їхніми кутовими аналогами. Кінетична енергія плоского руху. При плоскому русі (розділ І, п. 2.3) можна вважати, кожна точка Δm_і твердого тіла рухається із швидкістю \(\vec_\) разом із центром мас і в той же час обертається навколо нього по колу в площини руху із якоюсь швидкістю \( \tilde<\vec>_\) . Отже, в обраній системі відліку швидкість кожної точки складає \( \vec_=\tilde<\vec>_+\vec_ \) . Підстави вши цей вираз у (2.20), отримає мо:
   \( _>=\sum\frac\left( \vec_+\tilde<\vec>_ \right)^>=\) \(=\left( \sum\Delta m_i \right)\frac+\vec_\sum\Delta m_\tilde<\vec>_i+\sum\frac\tilde<\vec>_^>.\) Оскільки \( \sum\Delta> \) – то є маса всього тіла т, перший доданок у цьому виразі визначає кінетичну енергію поступального руху \(\) _пост = \( _^/\) . Другий доданок дорівнює нулю, бо включає вираз імпульсу тіла в відносно власного центра мас. Швидкості \(<\tilde_i>\) – це лінійні швидкості обертального руху точок тіла навколо фіксованої осі, що проходить через центр мас. Тому останній доданок визначає кінетичну енергію обертального руху тіла, і його можна замінити виразом (2.14). Таким чином для кінетичної енергії плоского руху тіла маємо:

   де I_с – момент інерції тіла відносно осі обертання, що проходить через центр мас, \(\) – швидкість руху центра мас. Кінетична енергія обертального руху та р обота моменту сил. У розділі ІV, ( формули (2.2), (2.2а)) було встановлено, що зміна кінетичної енергії точкового тіла дорівнює повній роботі сил, які діють на нього. Для протяжного твердого тіла ситуація є аналогічною. Розглянемо роботу, що виконується при обертанні тіла навколо нерухомої осі. В цьому випадку прикладена до нього сила \(\vec\) є перпендикулярною до осі обертання. При елементарному повороті тіла на кут dφ точка прикладання сили А здійснює переміщення \(<\mathrm\vec>\) по колу радіуса R (рис. 5.7), і сила виконує роботу \(\delta=\vec\cdot\mathrm\vec=F\mathrms\cos\alpha \) . Рис. 5.7 У цьому виразі ds = Rdφ і F cosα = F_τ – проєкція сили \(\vec\) на дотичну до кола, по якому рухається точка А. Отже, врахувавши вираз (2.7а) , маємо:

   Зв’язок між роботою моменту сил і кінетичною енергією обертального руху отримаємо після нескладних викладок, виразивши в (2.26), величину M_z із рівняння (2.18) і врахувавши співвідношення кінематики твердого тіла (2.5):

   Отже, теорема про кінетичну енергію зберігає чинність і для обертального руху твердого тіла. Контрольні запитання 1. Що називається моментом імпульсу відносно осі? Якою формулою він визначається для твердого тіла? 2. Що таке момент інерції тіла? Який фізичний зміст вона має? 3. Чи має тіло заданий момент інерції? Чи є момент інерції відносно заданої осі у нерухомого тіла ?
   4. У чому полягає теорема Штайнера? Яке вона має практичне призначення? 5. Як пов’язані між собою моменти сили відносно заданої осі відносно точки, розташованої цій осі? 6. Що таке плече сили? Чи можна сказати, що модуль моменту сили відносно осі дорівнює добутку модуля сили на її плече? 7. Чи можна твердити, що під дією заданої сили більш масивне тіло отримає менше кутове прискорення, ніж менш масивне? Чому? 8. Суцільний і порожнистий циліндри однакового радіуса та маси одночасно починають скочуватися з вершини похилої площини. Чи одночасно вони досягнуть основи площини? Якщо ні, то який і чому відстане? 9. Коли виконується та як записується закон збереження моменту імпульсу відносно осі? Наведіть прояви цього закону. 10. Запишіть вирази кінетичної енергії тіла, що обертається навколо нерухомої осі. 11. Запишіть вирази кінетичної енергії тіла, що здійснює плоский рух. 12. Колесо рівномірно котиться без ковзання так, що кутова швидкість його обертання складає ω . Визначити кінетичну енергію колеса, якщо воно має масу m і момент інерції відносно власної осі I_с. 13. Як обчислюється робота моменту сили?