Як ділить бісектриса кут

Бісектриса трикутника – відрізок бісектриси кута, що з’єднує вершину цього кута з точкою на протилежній стороні.

У биссектрис кута трикутника є маса властивостей, які описуються через властивості трикутника. Це допоможе у вирішенні завдань.

Властивості биссектрис трикутника

• Бісектриса трикутника, проведена з даної вершини, тотожна бісектрисі відповідного кута. Бісектриса кута трикутника, що виходить з його вершини, ділить цей кут трикутника навпіл
• Всі три бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка розташована завжди в площині трикутника і є центром вписаного кола. Примітка. Маються на увазі бісектриси внутрішніх кутів трикутника.

Кожна бісектриса трикутника ділиться точкою перетину биссектрис щодо суми прилеглих сторін до протилежної, починаючи з вершини

Властивості биссектрис рівнобедреного трикутника

• У рівнобедреного трикутника медіана, бісектриса і висота, проведені до основи трикутника, збігаються
• Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник – рівнобедрений (теорема Штейнера – ЛЕМУС), і третя бісектриса одночасно є медіаною і висотою того кута, з якого вона виходить.
• У трикутник дві бісектриси рівні, а третя бісектриса є його медіаною і висотою

• Одна і тільки одна бісектриса зовнішнього кута нерівностороннього трикутника може бути паралельна протилежній стороні – основі, якщо трикутник рівнобедрений

Властивості биссектрис рівностороннього трикутника

• У рівностороннього трикутника всі три бісектриси зовнішніх кутів паралельні протилежним сторонам
• У рівностороннього трикутника всі три «чудові» лінії (висота, бісектриса і медіана) збігаються і три «чудових» точки (точки ортоцентра, центру ваги і центру вписаного і описаного кіл) знаходяться в одній точці перетину «чудових» ліній, тобто теж збігаються
• У рівностороннього трикутника всі три внутрішні бісектриси рівні

Формули знаходження бісектриси кута

a, b, c – сторони трикутника, при цьому бісектриса проведена з кута, що знаходиться між сторонами a, b

α, β, γ – кути трикутника, протилежні боки a, b, c відповідно

p – напівпериметр трикутника (половина суми всіх його сторін)

c_a, c_b – відрізки, на які биссектрисой, проведеної з кута c розбита сторона c

l_c – довжина бісектриси, проведеної до сторони c з кута γ .

Довжина биссектрис трикутника може бути виражена через рівність з квадратом суми всіх його сторін.

Формули знаходження відстані від кута до точки перетину биссектрис

l_co – довжина відрізка, що лежить на бісектрисі від вершини кута до центру перетину биссектрис
r -радіус кола, вписаного в трикутник
R – радіус описаного кола
a, b, c – сторони трикутника, при цьому бісектриса проведена з кута, що знаходиться між сторонами a, b
γ – кут трикутника, протилежний стороні c
p – напівпериметр трикутника (половина суми всіх його сторін)

Завдання про доказ рівності кутів на підставі властивостей бісектриси.

Примітка. В даному уроці викладені завдання з геометрії про бісектрисі. Якщо Вам необхідно вирішити задачу з геометрії, якої тут немає – пишіть про це на форумі. Майже напевно курс буде доповнений.

Луч AD є бісектрисою кута A. На сторонах кута A відзначені точки B, C так що кут ADC дорівнює куту ADB.

Розглянемо трикутники ADB і ADC. Сторона AD у них загальна, кути DAC і DAB рівні, так як бісектриса AD ділить кут А навпіл, а кути ADC і ADB рівні за умовою задачі.

Таким чином, трикутники ADB і ADC рівні по стороні і двом кутам.

✅Як побудувати бісектрису кута?

Бісектриса – це промінь, що виходить з вершини кута і ділить кут навпіл, тобто на два рівних кути. Таким чином завдання можна сформулювати так: розділити кут навпіл.

Алгоритм побудови бісектриси кута:

1. Накреслити коло (або його частина) з центром у вершині кута так, щоб вона перетнула сторони кута.
2. Заміряти циркулем відстань між точками перетину сторін кута з колом.
3. Накреслити дві окружності (або їх частини) радіусом, отриманим в п. 2, вершини яких знаходяться в точках перетину сторін кута з окружністю, отриманої в п. 1. Ці дві окружності (або їх частини) повинні мати точку перетину всередині кута.
4. Провести промінь з вершини кута так, щоб він пройшов через точку перетину кіл, отриману в п. 3. Цей промінь і буде бісектрисою кута.

Довести, що отриманий промінь є бісектрисою, можна, розглянувши два трикутника, одна сторона яких загальна – відрізок від вершини кута до точки перетину кіл, отриманої в п. 3.

Друга пара відповідних сторін – відрізки від вершини кута до точок перетину кола зі сторонами кута, отриманих в п. 1.

Третя пара відповідних сторін – відрізки від точок перетину кола, отриманих в п. 1., до точки перетину кіл, отриманих в п. 3.

Дві пари відповідних відрізків будуть рівні, оскільки є радіусами якої-небудь однієї окружності, або двох, але з однаковим радіусом. Отже, трикутники рівні за трьома сторонами. У рівних трикутниках рівні і кути, а значить два нових кути при вершині дані за умовою задачі кути рівні, тобто побудований промінь є бісектрисою.

2. Медіани, бісектриси і висоти трикутника

\(2)\) З’єднати точку, яка є серединою сторони трикутника, з протилежною вершиною трикутника. Це і буде медіана.

Медіана поділяє трикутник на два трикутники з рівними площами (рівновеликі), а три проведені медіани — на шість рівновеликих.

В рівнобедреному трикутнику медіана кута, протилежного до основи трикутника, є його бісектрисою та висотою.

Бісектриса трикутника — це відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає вершину з точкою на протилежній стороні.

\(1)\) Побудувати бісектрису кута трикутника (бісектриса кута — це промінь, що виходить із вершини кута й ділить його на дві рівні частини ).

\(3)\) З’єднати вершину трикутника з точкою перетину бісектриси кута трикутника з протилежною стороною — цей відрізок і буде бісектрисою трикутника.

• Бісектриси внутрішніх кутів трикутника перетинаються в одній точці — інцентрі — центрі вписаного в цей трикутник кола.
• Бісектриси трикутника зображені голубим кольором.
• Бісектриса внутрішнього кута трикутника ділить протилежну сторону у відношенні, рівному відношенню двох прилеглих сторін.
• Якщо в трикутнику дві бісектриси рівні, то трикутник — рівнобедрений.
• В рівнобедреному трикутнику бісектриса кута, протилежного до основи трикутника, є медіаною та висотою.
• Відстані від сторін кута до будь-якої точки бісектриси однакові.

Висота трикутника — це перпендикуляр, опущений із вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.

\(1)\) провести пряму, яка містить одну зі сторін трикутника ( у разі, якщо проводиться висота з вершини гострого кута в тупокутному трикутнику );

\(2)\) із вершини, що лежить навпроти проведеної прямої, опустити до неї перпендикуляр ( перпендикуляр — це відрізок, проведений із точки до прямої, який утворює з нею кут величиною 90 ° ). Це і буде висота.

Точку перетину висот трикутника називають ортоцентром. В гострокутному він знаходиться всередині трикутника.
Якщо трикутник має прямий кут, то сторони, що утворюють прямий кут, можна назвати висотами, оскільки вони перпендикулярні одна до іншої. Точкою перетину висот є спільна вершина перпендикулярних сторін. Отже, в прямокутному трикутнику ортоцентр збігається з вершиною прямого кута.

Якщо трикутник має тупий кут, то висоти, опущені з вершин гострих кутів, знаходитимуться за межами трикутника. Прямі, на яких розташовані висоти, перетинатимуться за трикутником. Отже, в тупокутному трикутнику ортоцентр лежить поза межами трикутника.

Якщо з однієї й тієї самої вершини провести медіану, бісектрису й висоту, то медіана виявиться найдовшим відрізком, а висота — найкоротшим.