Формули і властивості логарифмів.

Логарифм числа b за основою a (log _a b ) визначається як показник степеня, до якого слід піднести число a , щоб отримати число b (логарифм існує лише для додатних чисел).

log_a b = x означає, що a x = b

Калькулятор логарифмів

Графік логарифмів

Види логарифмів

• log _a b – логарифм числа b за основою a ( a > 0, a ≠ 1, b > 0)
• lg b – десятковий логарифм (логарифм за основою 10, a = 10).
• ln b – натуральний логарифм (логарифм за основою e , a = e ).

Формули і властивості логарифмів

1. a log _ab = b – основна логарифмічна тотожність
2. log _a 1 = 0 – логарифм одиниці
3. log _a a = 1 логарифм числа, рівного основі
4. log _a ( x · y ) = log _ax + log _ay – логарифм добутку двох додатніх чисел
5. log _a x y = log _ax – log _ay – логарифм частки
6. log _a 1 x = -log _ax
7. log _a x n = n log _ax – логарифм степені числа
8. log _an √ x = 1 n log _ax – логарифм кореня від числа
9. log _{a n} x = 1 n log _a x , при n ≠ 0
10. log _ax = log _{a c} x c
11. log _a x = log _b x log _b a – формула переходу до нової основи
12. log _a x = 1 log _x a
13. (log _a x )′ = 1 x ln a – Похідна від логарифму

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Урок.Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена арифметичної прогресії. Сума n перших членів арифметичної прогресії

Урок-лекція алгебра, 9 клас Тема уроку. Арифметична прогресія, її властивості. Формула n-го члена арифметичної прогресії. Сума n перших членів арифметичної прогресії. Мета: формувати означення арифметичної прогресії, формувати поняття n-го члена арифметичної прогресії, поняття суми n перших членів арифметичної прогресії, розвивати вміння аналізувати, систематизувати, застосовувати теоретичні відомості для розв’язування вправ; виховувати інтерес до знань, до роботи з комп’ютерною технікою. Обладнання: комп’ютер, мультимедійна дошка.

алгебра, 9 клас

Тема уроку. Арифметична прогресія, її властивості. Формула n -го члена арифметичної прогресії. Сума n перших членів арифметичної прогресії.

Мета: формувати означення арифметичної прогресії, формувати поняття n -го члена арифметичної прогресії, поняття суми n перших членів арифметичної прогресії, розвивати вміння аналізувати, систематизувати, застосовувати теоретичні відомості для розв’язування вправ; виховувати інтерес до знань, до роботи з комп’ютерною технікою.

Обладнання: комп ’ ютер, мультимедійна дошка.

Епіграф: Те, що я чую, я забуваю.

Те, що я бачу й чую, я трохи пом ’ятаю.

Те, що я бачу, чую й обговорюю, я починаю розуміти.

Коли я чую, бачу, обговорюю й роблю,

я набуваю знань і навичок.

І. Організаційна частина. Актуалізація опорних знань.

• На минулому уроці ми з вами дали означення послідовності. Пропоную створити «Асоціативний кущ» на цей термін.

ІІ. Перевірка домашнього завдання. (усно)

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

• Послідовність, прояку ми сьогодні будемо говорити на уроці, є особливою. Її назва – арифметична прогресія.

Тема, яку ми сьогодні вивчатимемо, називається « Арифметична прогресія, її властивості. Формула n -го члена арифметичної прогресії. Сума n перших членів арифметичної прогресії. »

• Можемо помітити, що в цих послідовностях кожний член, починаючи з другого, можна знайти додаванням до попереднього одного й того самого числа. Такі послідовності називають арифметичними прогресіями. Сформулюйте, будь-ласка, означення арифметичної прогресії.

Арифметичною про ­ гресією називається послідовність, кож ­ ний член якої, починаючи з другого, дорів ­ нює попередньому, складеному з одним і тим самим числом .

Запишемо це означення рекурент ­ ною формулою

Число d називають різницею ариф ­ метичної прогресії

• Які з цих послідовностей є зростаючими (спадними)?
• Від чого це залежить?
• Спробуйте в кожному з розв ’ язаних прикладів знайти ;. Для ць о го вам доведеться обчислити всі попередні елементи. Тому, крім рекурентної формули, що задає прогресії. Потрібно знайти ще й формулу n -го члена, яка дає змогу за номером елемента обчислити його.

a _n =a _{1 +} (n-1) d

Історична довідка (готують учні).

У перекладі з латинської слово про ­ гресія означає рух уперед.

Прогресії відомі здавна, а тому не можна сказати, хто їх відкрив. Адже і натуральний ряд 1, 2, 3,4. — це ариф ­ метична професія, в якої а ₁ =1; d =1. .

Під час розкопок у Єгипті було знайде ­ но папірус, що датується 2000 р. до н.е., але і його було переписано з іншого, ще давнішого, віднесеного до третього тисячоліття до н.е. Учені розшифрува ­ ли текст папірусу і прочитали кілька задач. Зміст деяких з них дає мож ­ ливість віднести їх до задач на прогресії.

Задачі на прогресії зустрічаються в одній з найдавніших пам’яток пра ­ ва — «Руській правді», укладеній ще за Київського князя Ярослава Мудро ­ го ( XI ст.). Там є стаття, присвячена обчисленню приплоду від 22 овець за 12 років за умови, що кожна вівця що ­ річно приносить 1 вівцю і 2 барани.

Значна кількість задач на професії є в «Арифметиці» Л.Магницького (1703), що була основним математич ­ ним підручником у Росії протягом майже півстоліття.

Учнівська презентація

Розгляньте будь-який член ариф ­ метичної прогресії. Як він пов’язаний з його наступним і попереднім чле ­ нами? Виявляється, що він дорівнює середньому арифметичному наступно ­ го і попереднього членів, тобто

Звідси і назва прогресії – арифметична

Цю властивість можна узагальнити і сформулювати так: сума двох членів скінченої арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів.

Використовуючи означення арифметичної прогресії, одержимо її члени:

a ₁ , а ₁ + d , а ₁ + 2 d , а ₁ + 3 d , а ₁ + 4 d , а ₁ + 5 d , а ₁ + 6 d , а ₁ + 7 d , …

Звідси а _n =а ₁ + ( n -1) d Це формула n – го члена арифметичної прогресії.

– Звідси і назва прогресії. Це і є характеристична властивість арифметичної прогресії.

Задача. Учитель запропонував знайти суму всіх натуральних чисел від 1 до 40; думав, що школярі довго додаватимуть сорок чисел. А малий Карл Гаус (згодом відомий німецький математик) завдання виконав за хвилину. Як він міркував? Спробуйте завдання виконати усно.

Послідовність чисел від 1 до 40 становить арифметичну прогресію, у якої a ₁ = 1 , d =1, n =40, n – кількість перших членів арифметичної прогресії. Малий Гаус помітив, що сума двох членів скінченої арифметичної прогресії, рівновіддалених від її кінців, дорівнює сумі крайніх членів. Справді, якщо , то

Виведемо тепер формулу суми перших n членів арифметичної прогресії. Нехай S _n – сума перших n членів арифметичної прогресії a ₁ , a ₂ , a ₃ … a _n …

На наступному слайді учням демонструється доведення:

Користуючись цією формулою знайти суму перших двадцяти членів арифметичної прогресії 5, 7, 9, ….

– Давайте подумаємо, чи існує відповідність між номером члена прогресії та значенням члена цієї прогресії?

– Якою формулою задається така залежність?

– Як в математиці називається така відповідність?

– Яка функція задає арифметичну прогресію?

y = a ₁ + d ( x – 1) = a ₁ + dx – d = dx + ( a ₁ – d ) = kx + b

– Отже, лінійна функція, визначена на множині натуральних чисел, визначає арифметичну прогресію. Побудуємо графік.

На дисплеї комп’ютера

– Легко помітити, що всі побудовані точки належать прямій.

IV . Підсумок уроку.

V . Домашнє завдання. Прочитати п.10.2(ст. 214-216),п.10.3(ст. 220-222), вивчити конспект, виконати вправу

a ₁

a _n

S _n

Шкільна програма: що таке n у фізиці?

Вивчення фізики в школі триває кілька років. При цьому учні стикаються з проблемою, що одні й ті ж літери позначають зовсім різні величини. Найчастіше цей факт стосується латинських літер, як же тоді вирішувати завдання?

• Що означає прописна буква N у фізиці?
• Що може означати буква n у фізиці?
• Яка фізична величина може бути позначена n і N?
• Формули, в яких фігурує прописна N
• Ще одна формула з N у фізиці – частота коливань. Щоб її порахувати, потрібно їх число розділити на час:
• Формули, в яких зустрічається рядкова n
• Чому дорівнює n у фізиці, якщо це показник заломлення?
• Завдання на потужність
• Завдання на показник заломлення
• Завдання на період звернення
• Підіб ‘ємо підсумки

Лякатися такого повтору не варто. Вчені постаралися ввести їх у позначення так, щоб однакові літери не зустрілися в одній формулі. Найчастіше учні стикаються з латинською n. Вона може бути рядковою або прописною. Тому логічно виникає питання про те, що таке n у фізиці, тобто в певній формулі, що зустрілася учню.

Що означає прописна буква N у фізиці?

Найчастіше в шкільному курсі вона зустрічається при вивченні механіки. Адже там вона може бути відразу в дух значеннях – потужність і сила нормальної реакції опори. Природно, що ці поняття не перетинаються, адже використовуються в різних розділах механіки і вимірюються в різних одиницях. Тому завжди потрібно точно визначити, що таке n у фізиці.

Потужність – це швидкість зміни енергії системи. Це скалярна величина, тобто просто число. Одиницею її виміру служить ватт (Вт).

Сила нормальної реакції опори – сила, яка чинить дію на тіло з боку опори або підвісу. Крім числового значення, вона має напрямок, тобто це векторна величина. Причому вона завжди перпендикулярна поверхні, на яку проводиться зовнішній вплив. Одиницею вимірювання цієї N є ньютон (Н).

Що таке N у фізиці, крім вже зазначених величин? Це може бути:

• постійна Авогадро;
• збільшення оптичного приладу;
• концентрація речовини;
• число Дебаю;
• повна потужність випромінювання.

Що може означати буква n у фізиці?

Список найменувань, які можуть за нею ховатися, досить обширний. Позначення n у фізиці використовується для таких понять:

• показник заломлення, причому він може бути абсолютним або відносним;
• нейтрон – нейтральна елементарна частинка з масою незначно більшою, ніж у протона;
• частота обертання (використовується для заміни грецької літери “ню”, оскільки вона дуже схожа на латинську “ве”) – число повторення обертів за одиницю часу, вимірюється в герцах (Гц).

Що означає n у фізиці, крім вже зазначених величин? Виявляється, за нею ховаються основне квантове число (квантова фізика), концентрація і постійна Лошмідта (молекулярна фізика). До речі, при обчисленні концентрації речовини потрібно знати величину, яка також записується латинською “ен”. Про неї йтиметься нижче.

Яка фізична величина може бути позначена n і N?

Її назва походить від латинського слова numerus, в перекладі вона звучить як “число”, “кількість”. Тому відповідь на питання про те, що означає n у фізиці, досить проста. Це кількість будь-яких предметів, тіл, частинок – всього, про що йдеться в певному завданні.

Причому “кількість” – одна з небагатьох фізичних величин, які не мають одиниці виміру. Це просто число, без найменування. Наприклад, якщо в завданні йдеться про 10 частинки, то n дорівнюватиме просто 10. Але якщо виходить так, що рядкова “ен” вже зайнята, то використовувати доводиться прописну букву.

Формули, в яких фігурує прописна N

Перша з них визначає потужність, яка дорівнює відношенню роботи до часу:

У молекулярній фізиці є таке поняття, як хімічна кількість речовини. Позначається грецькою літерою “ню”. Щоб його порахувати, слід розділити кількість частинок на число Авогадро:

До речі, остання величина теж позначається настільки популярною буквою N. Тільки у неї завжди присутній нижній індекс – А.

Щоб визначити електричний заряд, потрібно формула:

Ще одна формула з N у фізиці – частота коливань. Щоб її порахувати, потрібно їх число розділити на час:

З ‘являється буква “ен” у формулі для періоду звернення:

Формули, в яких зустрічається рядкова n

У шкільному курсі фізики ця буква найчастіше асоціюється з показником заломлення речовини. Тому важливим виявляється знання формул з її застосуванням.

Так, для абсолютного показника переломлення формула записується наступним чином:

Тут з – швидкість світла у вакуумі, v – його швидкість у заломлюючому середовищі.

Формула для відносного показника заломлення дещо складніша:

де n1 і n2 – абсолютні показники заломлення першого і другого середовища, v1 і v2 – швидкості світлової хвилі в зазначених речовинах.

Як знайти n у фізиці? У цьому нам допоможе формула, в якій потрібно знати кути падіння і заломлення променя, тобто n21 = sin : sin γ.

Чому дорівнює n у фізиці, якщо це показник заломлення?

Зазвичай у таблицях наводяться значення для абсолютних показників заломлення різних речовин. Не варто забувати, що ця величина залежить не тільки від властивостей середовища, але і від довжини хвилі. Табличні значення показника заломлення даються для оптичного діапазону.

Абсолютний показник заломлення

Отже, стало ясно, що таке n у фізиці. Щоб не залишилося будь-яких питань, варто розглянути деякі приклади.

Завдання на потужність

№1. Під час оранки трактор тягне плуг рівномірно. При цьому він докладає чинності 10 кН. При такому русі протягом 10 хвилин він долає 1,2 км. Потрібно визначити розвивану їм потужність.

Переведення одиниць до СІ. Почати можна з сили, 10 Н дорівнює 10000 Н. Потім відстань: 1,2 1000 = 1200 м. Залишився час – 10 ст.1 60 = 600 с.

Вибір формул. Як вже було сказано вище, N = А: t. Але в завданні немає значення для роботи. Для її обчислення стане в нагоді ще одна формула: А = F S. Остаточний вид формули для потужності виглядає так: N = (F × S) : t.

Рішення. Вирахуємо спочатку роботу, а потім – потужність. Тоді в першій дії вийде 10 000 ^ 1 200 = 12 000 000 Дж. Друга дія дає 12 000 000: 600 = 20 000 Вт.

Відповідь. Потужність трактора дорівнює 20 000 Вт.

Завдання на показник заломлення

№2. Абсолютний показник заломлення біля скла дорівнює 1,5. Швидкість поширення світла в склі менша, ніж у вакуумі. Потрібно визначити, у скільки разів.

У СІ перекладати дані не потрібно.

При виборі формул зупинитися потрібно на цій: n = з: v.

Рішення. З зазначеної формули видно, що v = с: n. Це означає, що швидкість поширення світла в склі дорівнює швидкості світла у вакуумі, поділеному на показник заломлення. Тобто вона зменшується в півтора рази.

Відповідь. Швидкість поширення світла в склі менше, ніж у вакуумі, в 1,5 рази.

№3. Є два прозорі середовища. Швидкість світла в першій з них дорівнює 225 000 км/с, у другій – на 25 000 км/с менше. Промінь світла йде з першого середовища в друге. Кут падіння дорівнює 30º. Обчислює значення кута заломлення.

Чи потрібно переводити в СІ? Швидкості дані у позасистемних одиницях. Однак при підстановці у формули вони скоротяться. Тому переводити швидкості в м/с не потрібно.

Вибір формул, необхідних для вирішення завдання. Потрібно буде використовувати закон заломлення світла: n21= sin α: sin γ. А також: n = з: v.

Рішення. У першій формулі n21 – це відношення двох показників переломлення розглянутих речовин, тобто n2 і n1. Якщо записати другу зазначену формулу для запропонованих середовищ, то отримаються такі: n1 = з: v1 і n2 = с: v2. Якщо скласти відношення двох останніх виразів, вийде, що n21 = v1: v2. Підставивши його у формулу закону заломлення, можна вивести такий вираз для синуса кута заломлення: sin γ = sin α × (v2 : v1).

Підставляємо у формулу значення зазначених швидкостей і синуса 30º( дорівнює 0,5), виходить, що синус кута заломлення дорівнює 0,44. По таблиці Брадіса виходить, що кут дорівнює 26º.

Відповідь. Значення кута заломлення – 26º.

Завдання на період звернення

№4. Лопаті вітряка обертаються з періодом, рівним 5 секундам. Обчисліть кількість обертів цих лопатей за 1 годину.

Переводити в одиниці СІ потрібно тільки час 1 годину. Воно дорівнюватиме 3 600 секундам.

Підбір формул. Період обертання і кількість обертань пов ‘язані формулою Т = t: N.

Рішення. З зазначеної формули кількість обертів визначається ставленням часу до періоду. Таким чином, N = 3600: 5 = 720.

Відповідь. Кількість обертів лопатей млина дорівнює 720.

№5. Гвинт літака обертається з частотою 25 Гц. Який час потрібно гвинту, щоб здійснити 3000 обертів?

Всі дані наведені з СІ, тому перекладати нічого не потрібно.

Необхідна формула: частота = N: t. З неї необхідно тільки вивести формулу для невідомого часу. Воно є ділником, тому його належить знаходити поділом N на лад.

Рішення. У результаті поділу 3 000 на 25 виходить число 120. Воно буде вимірюватися в секундах.

Відповідь. Гвинт літака здійснює 3000 оборотів за 120 с.

Підіб ‘ємо підсумки

Коли учню в завданні з фізики зустрічається формула, що містить n або N, йому потрібно розібратися з двома моментами. Перший – з якого розділу фізики наведено рівність. Це може бути ясно із заголовка в підручнику, довіднику або слів вчителя. Потім слід визначитися з тим, що ховається за багатоликою “ен”. Причому в цьому допомагає найменування одиниць вимірювання, якщо, звичайно, наведено її значення. Також допускається ще один варіант: уважно подивіться на інші літери у формулі. Можливо, вони виявляться знайомими і дадуть підказку у вирішуваному питанні.