Ненатуральні числа. Як відрізнити натуральні від ненатуральних

Що ж таке натуральні та ненатуральні числа? Як пояснити дитині, а може й не дитині, в чому ж відмінності між ними? Давайте розбиратися. Наскільки відомо, ненатуральні і натуральні числа вивчають у 5 класі, і нашою метою є пояснити учням так, щоб вони дійсно зрозуміли і засвоїли, що і як.

Історія

Натуральні числа – це одне з давніх понять. Давним-давно, коли люди ще не вміли рахувати і не мали поняття про числа, коли їм було потрібно що-небудь перерахувати, наприклад, рибу, тварин, вони вибивали на різних предметах точечки або чорточки, як це пізніше з ‘ясувалося археологами. У той час їм було дуже важко жити, але цивілізація розвинулася спочатку до римської системи обчислення, а потім до десяткової системи обчислення. Зараз же майже всі використовують арабські цифри

Все про натуральні числа

Натуральні числа – це прості числа, якими ми користуємося в повсякденному нашому житті для підрахунку предметів для того, щоб визначити кількість і порядок. Зараз для запису чисел ми використовуємо десяткову систему обчислення. Для того щоб записати будь-яке число, ми використовуємо десять цифр – від нуля до дев ‘яти.

Натуральні числа – це ті числа, які ми використовуємо при рахунку предметів або зазначенні порядкового номера чого-небудь. Приклад: 5, 368, 99, 3684.

Числовим поруч називають натуральні числа, які розташовані в порядку зростання, тобто від одиниці до нескінченності. Такий ряд починається з найменшого числа – 1, а найбільшого натурального числа не буває, так як ряд чисел просто нескінченний.

Взагалі, нуль – натуральним числом не вважається, так як він означає відсутність чого-небудь, і рахунок предметів так само відсутній

Арабська система обчислення – це сучасна система, якою ми користуємося щодня. Вона є одним з варіантів індійської (десятковою).

Така система обчислення стала сучасною через цифру 0, яку і винайшли араби. До цього в індійській системі вона була відсутня.

Ненатуральні числа. Що це?

До натуральних числів не належать негативні числа і нецілі. Значить, вони і є – ненатуральні числа

Ненатуральні числа бувають:

• Негативні числа, наприклад: -1, -5, -36.. і так далі.
• Раціональні числа, які виражені десятковими дробами: 4,5, -67, 44,6.
• У вигляді простого дробу: 1/2, 40 2/7 тощо.
• Ірраціональні числ, такі, як e = 2,71828, ^ 2 = 1,41421 тощо.

Ми сподіваємося, що дуже допомогли вам розібратися з ненатуральними і натуральними числами. Тепер вам стане легше пояснити своєму малюку цю тему, і він засвоїть її так само добре, як великі математики!

✅Натуральні числа

Натуральними числами називаються числа, які з’явилися в результаті рахунку. Числа один, два, три, чотири і так далі, є натуральними. Від’ємні і дробові числа не належать до натуральних чисел. Нуль, частіше за все, не прийнято вважати натуральним числом.

Натуральні числа – це числа, які використовуються для рахунку предметів або для вказівки порядкового номера того чи іншого предмета серед однорідних предметів.

У першому столітті нашої ери давньогрецький математик Нікомаха в своїй математичній праці “Введення в математику” говорить про “природний ряд” чисел. У шостому столітті римський автор Боецій переклав цю арифметику на латинську мову і запустив у вжиток при цьому термін “натуральне число”. Пізніше д’Аламбер почав вживати поняття “натуральне число” в сучасному вигляді.

Натуральні числа утворюють натуральний ряд чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …

Найменшим числом в натуральному ряду є число 1 (один, одиниця), найбільшого числа в натуральному ряду немає. Натуральний ряд чисел є нескінченним. Натуральний ряд побудований так, що кожне наступне число на 1 (одиницю) більше попереднього.

Яке число треба додати до натурального числа, щоб назвати таке натуральне число? Потрібно додати число 1 (один), тоді вийде наступне натуральне число.

Натуральний ряд чисел можна легко уявити візуально. Для цього пройдіть на сторінку “Таблиця натуральних чисел”, де представлені натуральні числа від 1 (одного) до 120 (ста двадцяти).

Будь-яке натуральне число можна записати за допомогою десяти арабських цифр:

• 1 (один);
• 2 (два);
• 3 (три);
• 4 (чотири);
• 5 (п’ять);
• 6 (шість);
• 7 (сім);
• 8 (вісім);
• 9 (дев’ять);
• 0 (нуль).

Одне число може позначатися декількома цифрами. Наприклад, число 18 (вісімнадцять) позначається двома цифрами: 1 (один) і 8 (вісім). У записі натурального числа значення кожної цифри визначається місцем (позицією), яке цифра займає в записі числа.

Натуральні числа позначаються латинською буквою N (безліч натуральних чисел).

Для натуральних чисел визначено такі арифметичні дії: додавання, віднімання, множення, ділення, піднесення до степеня, добування кореня. Результати деяких арифметичних дій представлені у вигляді таблиці додавання, таблиці віднімання, таблиці множення, таблиці розподілу.

Це шкільний курс математики. Якщо я ще знайду десь щось цікаве про натуральні числа, обов’язково додам до вищевикладеного. Настільки глибокі пізнання в області натуральних чисел почерпнуті мною з «Довідника з математики», авторами якого є А. А. Ривкін, А. З. Ривкін, Л. С. Хренов. Видано довідник в 1970 році. Віддаю належне авторам і видавцям – цей довідник не раз виручав мене в студентські роки, та й зараз є моїм головним екскурсоводом в світі математики.

Якщо вам необхідно більше офіційної інформації про натуральні числа, скористайтеся пошуком від Google угорі цієї сторінки.

Тепер трохи додам від себе. Що і як я розумію.

Отримати натуральні числа дуже легко. Для цього існує найдавніша обчислювальна машина – рука людини. Перерахуємо по черзі пальці на одній руці. В результаті перерахунку ми отримаємо п’ять натуральних чисел:

Результат наших обчислень не залежить від того, яку руку ми використовуємо – праву або ліву, і з якого пальця ми починаємо відлік – з великого або мізинця.

Якщо на допомогу залучити ще одну руку, то кількість доступних натуральних чисел подвоїться.

Тепер ми зможемо отримати вже десять натуральних чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6 – шість, 7 – сім, 8 – вісім, 9 – дев’ять, 10 – десять.

Якщо для перерахунку додати пальці ніг, руки і ноги сусідів, то вийде дуже велика кількість чисел, і всі ці числа будуть натуральними.

Можна вчинити трохи інакше: лічити пальці на одній руці в довільному порядку, не звертаючи уваги на те, скільки разів пораховано кожен палець. У цьому випадку кількість отриманих натуральних чисел буде обмежено тільки нашим терпінням.

Натуральне число 2 ми використовували щонайменше два рази. Перший раз – для позначення кількості пальців на руці, другий раз – для позначення кількості рук. Одне і те ж натуральне число може застосовуватися для позначення кількості самих різних предметів.

Чому негативні числа не належать до натуральних? Негативні числа отримують більш складним способом, ніж простий перерахунок. Так само, як і дробові числа. Для отримання негативних і дробових чисел використовують арифметичні операції віднімання і ділення.

Ще пару слів про нулі і натуральні числа. Оскільки число – це віртуальне відображення кількості чого-небудь, неможливо провести фізичний експеримент або анатомічний розтин для з’ясування істини. Чи є нуль числом? Це питання вимагає додаткових розкопок в Google. Чи належить нуль до натуральних чисел? На початку цієї сторінки я написав «нуль, частіше за все, не прийнято вважати натуральним числом». Поясню сенс цієї фрази.

За відомостями Вікіпедії, в україномовній математиці нуль не зараховується до натуральних чисел.

Отже, в математиків на інших мовах існує протилежна думка. Як я вже говорив, експериментальним шляхом довести нічого не можна, все приймається на віру. А там, де є віра, неминуче виникають секти. Один і той же текст кожен священик трактує так, як йому вигідніше.

Ось і в математичному віросповіданні утворилося дві секти: одні зараховують нуль до лику натуральних чисел, інші вважають, що нуль не гідний такої честі. Сподіваюся, до братовбивчої війни справа не дійде. Як би ви не поступили з нулем і натуральними числами, ніяких фізичних наслідків ваше рішення не матиме: наша планета не впаде в непритомність, і не звалиться на Сонце.

Переважній більшості представників роду людського це питання «вааще пофіг». Наймудрішим розв’язання даного питання буде: запитати у свого вчителя математики, що він думає з цього приводу. І він сам скаже ту відповідь, яка з ваших уст буде для нього бальзамом на душу. Тільки, дивіться, вчителів та відповіді не переплутайте.

На закінчення маленька рубрика питання-відповідь.

• Які числа є натуральними? – Цілі позитивні числа.
• Нуль натуральне число? – Нуль не є натуральним числом. Натуральний ряд чисел починається з одиниці.
• Яке найбільше натуральне число? – Найбільшого натурального числа не існує. Яке б найбільше, на ваш погляд, натуральне число ви не взяли, до нього завжди можна додати одиницю і отримати натуральне число ще більше. Натуральний ряд чисел нескінченний.

Що ми дізналися?

• Визначення. Натуральні числа — це множина чисел, які використовуються для підрахунку (1, 2, 3, …) та порядку (перший, другий, третій, …). Вони не включають нуль, від’ємні числа, дроби чи дійсні числа.
• Нуль. Існує деяка дискусія щодо включення нуля до множини натуральних чисел. У сучасній математиці загальноприйнято, що натуральні числа починаються з 1, хоча деякі джерела включають і нуль.
• Множина натуральних чисел. Позначається як N та є нескінченною множиною.
• Властивості. Натуральні числа мають властивості комутативності, асоціативності та дистрибутивності для операцій додавання та множення.
• Історичний контекст. Концепція натуральних чисел існувала ще у давніх цивілізаціях, таких як вавилоняни та єгиптяни, і є одним із фундаментів розвитку математики.
• Використання. Натуральні числа використовуються у повсякденному житті для підрахунку предметів, визначення порядку, і є основою для більш складних математичних конструкцій.
• Основні операції. До основних операцій з натуральними числами належать додавання та множення. Віднімання та ділення не завжди можливі в множині натуральних чисел без розширення до інших числових множин.

Висновок

Натуральні числа формують основу математичної системи числення і є одними з найперших і найбільш фундаментальних концепцій, які людство використовувало для організації інформації про кількість та порядок.

Їх простота та універсальність роблять натуральні числа незамінними у багатьох галузях знань, від основних арифметичних операцій до складних математичних теорій.

З розвитком математики концепція натуральних чисел продовжує залишатися важливою, підкреслюючи їхнє значення у формуванні основ нашого розуміння кількості та структури в природі та науці.

Що таке дійсні, натуральні, раціональні та інші числа. Які бувають числа?

Що таке дійсні, натуральні, раціональні та інші числа.

• 1 Які бувають види чисел?
  • 1.1 Що таке натуральні числа?
  • 1.2 Шукаєш репетитора з математики?
  • 1.3 Що таке цілі числа?
  • 1.4 Що таке раціональні числа?
  • 1.5 Що таке ірраціональні числа?
  • 1.6 Що таке дійсні числа?
  • 1.7 Що таке комплексні числа?
  • 2.1 Що таке парні та непарні числа?
  • 2.2 Що таке просте число?
  • 2.3 Що таке числа Фібоначчі?
  • 2.4 Шукаєш репетитора з математики?

  При вивченні математики доводиться оперувати різними видами чисел. Однак багато учнів плутаються і не розуміють що таке дійсні числа, а що таке натуральні числа. Або чим раціональні числа відрізняються від ірраціональних. Mathema стисло розповідає про всі види чисел в математиці.

  Які бувають види чисел?

  У математиці існують такі множини чисел: натуральні, цілі, раціональні, ірраціональні, дійсні та комплексні. Для зручності їх можна представити діаграмою. Натуральні числа складають частину від цілих, цілі — від раціональних, раціональні — від дійсних. Виходить система, в якій поступово додаються нові числа, але для прикладу 2 чи 1 входить одразу до усіх видів чисел.

  Що таке натуральні числа?

  Натуральні числа — це всі числа, які використовуються при лічбі: 1, 2, 3, … 10, 11, 12, … 124, 125, 126. Нуль та від’ємні числа (-1,-2,-3) не є натуральними числами. Найменшим натуральним числом є одиниця. Найбільшого натурального числа не існує, адже їх кількість нескінченна. Множина натуральних чисел, яку ще називають сукупністю натуральних чисел позначається латинською літерою “N”. Прикладом натуральних чисел є Римська система числення.

  Шукаєш репетитора з математики?

  Mathema підбере викладача під потреби дитини

  Подати заявку на урок-діагностику

  Що таке цілі числа?

  Цілі числа — це натуральні числа, протилежні до них та число 0: -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … Фактично це всі натуральні числа, всі їх відповідники зі знаком мінус та нуль. Найменшого і найбільшого цілого числа не існує. Множину або сукупність цілих чисел позначають латинською літерою “Z”. Цілі числа використовують в тренуваннях ментальної арифметики.

  Що таке раціональні числа?

  Раціональні числа — цілі додатні та від’ємні числа, число 0 та всі дробові числа : -1, -1/2, 0, 1, 1/2, 2, 3… Раціональні числа є розширеним списком всіх цілих чисел, до якого додались також дроби. Важливо: будь-яке раціональне число можна представити у вигляді дробу. Приклад, 3=3/1. число 1 можна вважати натуральними, цілим та раціональним водночас.

  Що таке ірраціональні числа?

  Ірраціональні числа — це числа, які не є натуральними, цілими чи раціональними. Найчастіше це числа які не можливо записати у вигляді десяткового дробу, адже він буде нескінченним. Найвідомішим прикладом є число π, яке дорівнює 3,141592… Також ірраціональними числами вважають √3 = 1,732050… R – найширша множина чисел, яка вивчається у школі.

  Що таке дійсні числа?

  Дійсні числа можна уявити як пряму з порядком усіх чисел, або як звичайну лінійку. До дійсних чисел належать всі додатні, від’ємні числа, нуль, дроби, раціональні та ірраціональні числа. Дійсні числа позначаються літерою “R”.

  Що таке комплексні числа?

  Комплексні числа — це числа які представлені формулою x + iy. Де x та y — це дійсні числа, а i — уявна одиниця (число, яке при піднесенні до квадрата дає від’ємну одиницю).

  Інші види чисел

  Що таке парні та непарні числа?

  Парні та непарні числа — це підклас цілих чисел. Якщо число ділиться на два без остачі воно парне, якщо ні — непарне.

  Що таке просте число?

  Просте число — це число яке без остачі ділиться тільки на одиницю і само на себе. Це послідовність чисел: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149.. Математики досі вивчають властивості простих в галузі “Теорія чисел”.

  Що таке числа Фібоначчі?

  Числа Фібоначчі — це ряд чисел, в якому кожне наступне число дорівнює сумі двох попередніх. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987. Числа, або послідовності Фібоначчі можна зустріти в реальному житті, наприклад за таким принципом росте насіння у квітці соняшника або створена раковина равлика. Також такі послідовності зустрічаються в біології, наприклад за принципом Фібоначчі рухається спіраль ДНК. Навіть в архітектурі та живописі використовують цю послідовність, на основі якої створено правило золотого перетину.

  Шукаєш репетитора з математики?

  Mathema підбере викладача під потреби дитини

  Подати заявку на урок-діагностику

  Світлана Кравець

  Професійний педагог з вищою освітою, спеціаліст вищої категорії, зі званням «Старший вчитель».