✅Чому число в ступені 0 дорівнює 1?

Існує правило, що будь-яке число, крім нуля, зведене в нульовий ступінь, буде дорівнювати одиниці:

Коли число зводиться до степеня з натуральним показником, то мається на увазі, що воно множиться саме на себе стільки разів, який показник ступеня:

Коли ж показник ступеня дорівнює 1, то при зведенні є всього лише один множник (якщо тут взагалі можна говорити про множниках), і тому результат зведення дорівнює основи ступеня:

Але як у такому разі бути з нульовим показником? Що на що множиться?

Спробуємо піти іншим шляхом. Відомо, що якщо у двох ступенів однакові підстави, але різні показники, то підстава можна залишити тим же самим, а показники або скласти один з одним (якщо ступеня перемножуються), або відняти показник дільника з показника діленого (якщо ступеня діляться):

А тепер розглянемо такий приклад:

Що якщо ми не будемо користуватися властивістю ступенів з однаковою основою і зробимо обчислення підряд їх слідування:

Ось ми і отримали заповітну одиницю. Таким чином нульовий показник ступеня як би говорить про те, що число не множиться саме на себе, а ділиться саме на себе.

І звідси стає зрозуміло, чому вираз 00 не має сенсу. Адже не можна ділити на 0.

Можна міркувати по-іншому. Якщо є, наприклад, множення ступенів 52 × 50 = 52 + 0 = 52, то звідси випливає, що 52 було помножено на 1.

Таблиця з поясненнями на тему “Чому число в ступені 0 дорівнює 1”

Ця таблиця надає основні терміни та їх пояснення, що стосуються того, чому число в ступені 0 дорівнює 1 в математиці.

Зведення у ступінь, правила, приклади. Ступінь та її властивості

Важливі зауваження!
1. Якщо замість формул ти бачиш абракадабру, почисти кеш. Як це зробити у твоєму браузері написано тут:
2. Перш ніж почнеш читати статтю, зверни увагу на наш навігатор за найкориснішим ресурсом для

Навіщо потрібні ступені? Де вони тобі стануть у пригоді? Чому тобі потрібно витрачати час на їхнє вивчення?

Щоб дізнатися все про ступеня, про те, для чого вони потрібні, як використовувати свої знання в повсякденному житті читай цю статтю.

І, звичайно ж, знання ступенів наблизить тебе до успішної здачі ОДЕ або ЄДІ та до вступу до ВНЗ твоєї мрії.

ПОЧАТКОВИЙ РІВЕНЬ

Зведення в ступінь – це така сама математична операція, як додавання, віднімання, множення або поділ.

Наразі поясню все людською мовою на дуже простих прикладах. Будь уважний. Приклади елементарні, але пояснюють важливі речі.

Пояснювати тут нічого. Ти й так усе знаєш: нас вісім людей. У кожного по дві пляшки коли. Скільки всього кіл? Правильно – 16 пляшок.

Той самий приклад із колою можна записати по-іншому: . Математики – люди хитрі та ліниві. Вони спочатку помічають якісь закономірності, а потім вигадують спосіб якнайшвидше їх «рахувати». У нашому випадку вони помітили, що у кожного з восьми чоловік однакова кількість пляшок коли і придумали прийом, який називається множенням. Погодься, вважається легше і швидше, ніж.

Отже, щоб вважати швидше, легше і без помилок, потрібно лише запам’ятати таблицю множення. Ти, звичайно, можеш робити все повільніше, важче та з помилками! Але.

Ось таблиця множення. Повторюй.

А які ще хитрі прийоми рахунку вигадали ліниві математики? Правильно – зведення числа до ступеня.

Зведення числа до ступеня

Якщо тобі потрібно помножити число на себе п’ять разів, то математики кажуть, що тобі потрібно звести це число в п’яту ступінь. Наприклад, . Математики пам’ятають, що два в п’ятому ступені – це. І вирішують такі завдання в умі – швидше, легше і без помилок.

Для цього потрібно лише запам’ятати те, що виділено кольором у таблиці ступенів чисел. Повір, це полегшить тобі життя.

До речі, чому другий ступінь називають квадратомчисла, а третю – кубом? Що це означає? Дуже добре питання. Нині будуть тобі і квадрати, і куби.

Приклад із життя №1

Почнемо із квадрата або з другого ступеня числа.

Уяви собі квадратний басейн розміром метри на метри. Басейн стоїть у тебе на дачі. Спека і дуже хочеться купатися. Але. басейн без дна! Потрібно застелити дно басейну плиткою. Скільки тобі треба плитки? Щоб це визначити, тобі потрібно дізнатися площу дна басейну.

Ти можеш просто порахувати, тикаючи пальцем, що дно басейну складається із кубиків метр на метр. Якщо ти маєш плитку метр на метр, тобі потрібно буде шматків. Це легко… Але де ти бачив таку плитку? Плитка швидше буде див на див. І тоді «пальцем рахувати» замучишся. Тоді доведеться множити. Отже, з одного боку дна басейну у нас поміститься плиток (штук) і з іншого теж плиток. Помноживши на ти отримаєш плиток ().

Ти помітив, що для визначення площі дна басейну ми помножили одне й те саме саме на себе? Що це означає? Раз множиться те саме число, ми можемо скористатися прийомом «зведення в ступінь». (Звичайно, коли в тебе всього два числа, все одно перемножити їх або звести в ступінь. Але якщо у тебе їх багато, то зводити у ступінь значно простіше і помилок при розрахунках виходить теж менше. Для ЄДІ це дуже важливо).
Отже, тридцять другою мірою буде (). Або можна сказати, що тридцять у квадраті буде. Іншими словами, другий рівень числа завжди можна представити у вигляді квадрата. І навпаки, якщо ти бачиш квадрат – це ЗАВЖДИ другий ступінь якогось числа. Квадрат – це зображення другого ступеня числа.

Приклад із життя №2

Ось тобі завдання, порахувати, скільки квадратів на шахівниці за допомогою квадрата числа. З одного боку клітин і з іншого теж. Щоб порахувати їх кількість, потрібно вісім помножити на вісім або якщо помітити, що шахівниця – це квадрат зі стороною, то можна звести вісім у квадрат. Вийде клітини. () Так?

Приклад із життя №3

Тепер куб чи третій ступінь числа. Той самий басейн. Але тепер тобі потрібно дізнатися, скільки води доведеться залити у цей басейн. Тобі треба порахувати обсяг. (Обсяги та рідини, до речі, вимірюються в кубічних метрах. Несподівано, правда?) Намалюй басейн: дно розміром на метри та глибиною метра та спробуй порахувати, скільки всього кубів розміром метр на метр увійде у твій басейн.

Прямо показуй пальцем і рахуй! Раз, два, три, чотири…двадцять два, двадцять три… Скільки вийшло? Чи не збився? Важко пальцем рахувати? Так то! Бери приклад із математиків. Вони ліниві, тому помітили, що, щоб порахувати обсяг басейну, треба перемножити один на одного його довжину, ширину та висоту. У нашому випадку обсяг басейну дорівнюватиме кубів… Легше правда?

А тепер уяви, наскільки математики ліниві та хитрі, якщо вони і це спростили. Звели все до однієї дії. Вони помітили, що довжина, ширина і висота дорівнює і що те саме число перемножується саме на себе… А що це означає? Це означає, що можна скористатися ступенем. Отже, те, що ти вважав пальцем, вони роблять в одну дію: три в кубі одно. Записується це так: .

Залишається тільки запам’ятати таблицю ступенів. Якщо ти, звичайно, такий же лінивий і хитрий як математики. Якщо любиш багато працювати і робити помилки – можеш продовжувати вважати пальцем.

Ну і щоб остаточно переконати тебе, що ступеня вигадали ледарі та хитруни для вирішення своїх життєвих проблем, а не для того, щоб створити тобі проблеми, ось тобі ще пара прикладів із життя.

Приклад із життя №4

У тебе є мільйон рублів. На початку кожного року заробляєш на кожному мільйоні ще один мільйон. Тобто, кожен твій мільйон на початку кожного року подвоюється. Скільки грошей у тебе буде за роки? Якщо ти зараз сидиш і «вважаєш пальцем», значить ти дуже працьовита людина і дурна. Але швидше за все ти даси відповідь через пару секунд, тому що ти розумний! Отже, у перший рік – два помножити на два… на другий рік – те, що вийшло, ще на два, на третій рік… Стоп! Ти помітив, що число перемножується саме собою раз. Значить, два вп’яте – мільйони! А тепер уяви, що у вас змагання і ці мільйони отримає той, хто швидше порахує. Варто запам’ятати ступеня чисел, як вважаєш?

Приклад із життя №5

У тебе є мільйон. На початку кожного року ти заробляєш на кожному мільйоні ще два. Здорово правда? Кожен мільйон потроюється. Скільки грошей у тебе буде за рік? Давай рахувати. Перший рік – помножити на, потім результат ще на… Вже нудно, бо ти вже все зрозумів: три множиться саме на себе рази. Значить четвертою мірою дорівнює мільйон. Треба просто пам’ятати, що три в четвертому ступені це або.

Тепер ти знаєш, що за допомогою зведення числа в міру ти здорово полегшить собі життя. Давай подивимося на те, що можна робити зі ступенями і що тобі потрібно знати про них.

Терміни та поняття. щоб не заплутатися

Отже, спочатку давай визначимо поняття. Як думаєш, що таке показник ступеня? Це дуже просто – це число, яке знаходиться «вгорі» ступеня числа. Не науково, зате зрозуміло і легко запам’ятати.

Ну і заразом, що така підстава ступеня? Ще простіше – це число, яке знаходиться внизу, в основі.

Ось тобі малюнок для вірності.

Ну і в загальному вигляді, щоб узагальнити і краще запам’ятати.

Ступінь числа з натуральним показником

Ти вже напевно здогадався: тому що показник ступеня – це натуральне число. Так, але що таке натуральне число? Елементарно! Натуральні це ті числа, які використовуються в рахунку при перерахуванні предметів: один, два, три. Ми ж коли рахуємо предмети не говоримо: мінус п’ять, мінус шість, мінус сім. Ми так само не говоримо: “одна третя”, або “нуль цілих, п’ять десятих”. Це не натуральні цифри. А які це числа, як ти думаєш?

Числа типу “мінус п’ять”, “мінус шість”, “мінус сім” відносяться до цілим числам.Взагалі, до цілих числах відносяться всі натуральні числа, протилежні числа натуральним (тобто взяті зі знаком мінус), і число. Нуль зрозуміти легко – це коли нічого немає. А що означає негативні («мінусові») числа? А ось їх придумали в першу чергу для позначення боргів: якщо у тебе баланс на телефоні рублів, це означає, що ти винен оператору рублів.

Будь-які дроби – це раціональні числа. Як вони виникли, як гадаєш? Дуже просто. Декілька тисяч років тому наші предки виявили, що їм не вистачає натуральних чисел для вимірювання довжини, ваги, площі тощо. І вони вигадали раціональні числа… Цікаво, правда ж?

Є ще ірраціональні числа. Що це за числа? Якщо коротко, то нескінченний десятковий дріб. Наприклад, якщо довжину кола розділити на її діаметр, то вийде ірраціональне число.

Визначимо поняття ступеня, показник якого — натуральне число (тобто ціле та позитивне).

1. Будь-яке число в першому ступені дорівнює самому собі:
2. Звести число в квадрат – значить помножити його на себе:
3. Звести число в куб – значить помножити його на себе три рази:

Визначення.Звести число в натуральну міру – значить помножити число саме на себе раз:
.

Властивості ступенів

Звідки ці властивості взялися? Зараз покажу.

Подивимося: що таке і ?

Скільки тут множників всього?

Дуже просто: до множників ми дописали множників, разом вийшло множників.

Але за визначенням це ступінь числа з показником, тобто: , що потрібно було довести.

Приклад: Спростіть вираз

Приклад:Спростіть вираз.

Рішення:Важливо помітити, що у нашому правилі обов’язковоповинні бути однакові підстави!
Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:

тільки для добутку ступенів!

У жодному разі не можна написати, що.

2. тобто -а ступінь числа

Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:

Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є ступінь числа:

По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі:

Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати?

Ступінь із негативною основою

До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показник ступеня.

Але якою має бути підстава?

У ступенях з натуральним показникомоснова може бути будь-яким числом. І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть.

Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних та негативних чисел?

Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ? З першим усе зрозуміло: хоч би скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.

Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам’ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо, вийде.

Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:

Ось відповіді: У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.

У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава – міра парна, а значить, результат завжди буде позитивним.

Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).

Приклад 6) вже не такий простий!

6 прикладів для тренування

Розбір рішення 6 прикладів

Цілимими називаємо натуральні числа, протилежні ним (тобто взяті зі знаком «») та число.

ціле позитивне число, а воно нічим не відрізняється від натурального, все виглядає в точності як у попередньому розділі.

А тепер розглянемо нові випадки. Почнемо з показника, що дорівнює.

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці:

Як завжди, запитаємо себе: чому це так?

Розглянемо якийсь ступінь із основою. Візьмемо, наприклад, і домножимо на:

Отже, ми помножили число на, і отримали те, що було – . А яке число треба помножити, щоб нічого не змінилося? Правильно, на. Значить.

Можемо зробити те ж саме з довільним числом:

Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює одиниці.

Але з багатьох правил є винятки. І тут воно теж є – це число (як основа).

З одного боку, будь-якою мірою повинен дорівнювати – скільки нуль сам на себе не помножуй, все-одно отримаєш нуль, це ясно. Але з іншого боку, як і будь-яке число в нульовому ступені, має дорівнювати. То що з цього правда? Математики вирішили не зв’язуватися і відмовилися зводити нуль на нульовий ступінь. Тобто тепер нам не можна не лише ділити на нуль, а й зводити його на нульовий ступінь.

Поїхали далі. Крім натуральних чисел та числа до цілих відносяться негативні числа. Щоб зрозуміти, що таке негативний ступінь, вчинимо як минулого разу: домножимо якесь нормальне число на таке ж негативне:

Звідси вже нескладно висловити:

Тепер поширимо отримане правило на довільний ступінь:

Число негативно назад такому ж числу позитивно. Але при цьому основа не може бути нульовою:(т.к. на ділити не можна).

Завдання для самостійного вирішення:

Ну і, як завжди, приклади для самостійного вирішення:

Розбір завдань для самостійного розв’язання:

Знаю-знаю, числа страшні, але на ЄДІ треба бути готовим до всього! Виріш ці приклади або розбери їх рішення, якщо не зміг вирішити і ти навчишся легко справлятися з ними на іспиті!

Продовжимо розширювати коло чисел, «придатних» як показник ступеня.

Тепер розглянемо раціональні числа.Які числа називаються раціональними?

Відповідь: всі, які можна у вигляді дробу, де і – цілі числа, причому.

Щоб зрозуміти, що таке «дрібний ступінь», розглянемо дріб:

Зведемо обидві частини рівняння до ступеня:

Тепер згадаємо правило про «ступінь у ступені»:

Яке число треба звести до ступеня, щоб отримати?

Це формулювання – визначення кореня ступеня.

Нагадаю: коренем -ого ступеня числа () називається число, яке при зведенні до ступеня дорівнює.

Тобто, корінь -ого ступеня – це операція, обернена до зведення в ступінь: .

Виходить що. Вочевидь, цей окремий випадок можна розширити: .

Тепер додаємо чисельник: що таке? Відповідь легко отримати за допомогою правила «ступінь у ступені»:

Але чи може бути підстава будь-яким числом? Адже корінь можна отримувати не з усіх чисел.

Згадуємо правило: будь-яке число, зведене на парний ступінь – число позитивне. Тобто витягувати коріння парного ступеня з негативних чисел не можна!

А це означає, що не можна такі числа зводити в дрібний ступінь з парним знаменником, тобто вираз не має сенсу.

Число можна представити у вигляді інших, скоротливих дробів, наприклад, або.

І виходить, що існує, але не існує, адже це просто два різні записи того самого числа.

Або інший приклад: раз, то можна записати. Але варто нам по-іншому записати показник, і знову отримаємо неприємність: (тобто отримали зовсім інший результат!).

Щоб уникнути подібних парадоксів, розглядаємо тільки позитивна основа ступеня з дробовим показником.

Ступені з раціональним показником дуже корисні для перетворення виразів з корінням, наприклад:

5 прикладів для тренування

Розбір 5 прикладів для тренування

Ну а тепер – найскладніше. Зараз ми розберемо ступінь з ірраціональним показником.

Всі правила і властивості ступенів тут такі самі, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком

Адже за визначенням ірраціональні числа – це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і – цілі числа (тобто, ірраціональні числа – це все дійсні числа крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь образ, аналогію, або опис у більш звичних термінах.

Наприклад, ступінь із натуральним показником – це число, кілька разів помножене саме на себе;

. число в нульовому ступені– це хіба що число, помножене саме він раз, тобто його ще почали множати, отже, саме число ще навіть з’явилося – тому результатом є лише якась «заготівля числа», саме число;

. ступінь із цілим негативним показником– це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число.

Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

КУДИ МИ ВПЕВНЕНІ ТИ ПОСТУПИШ! (якщо навчишся вирішувати такі приклади:))

Виріши самостійно:

Розбір рішень:

1. Почнемо з звичайного нам правила зведення ступеня в ступінь:

ПРОСУНУТИЙ РІВЕНЬ

Визначення ступеня

Ступенем називається вираз виду: , де:

Ступінь із натуральним показником (n = 1, 2, 3. )

Звести число в натуральну міру n – значить помножити число саме на себе раз:

Ступінь із цілим показником (0, ±1, ±2. )

Якщо показником ступеня є ціле позитивнечисло:

Зведення у нульовий ступінь:

Вираз невизначене, т.к., з одного боку, будь-якою мірою – це, з другого – будь-яке число у -ой ступеня – це.

Якщо показником ступеня є ціле негативнечисло:

Ще раз про нулі: вираз не визначений у випадку. Якщо то.

Ступінь із раціональним показником

Властивості ступенів

Щоб простіше було вирішувати завдання, спробуємо зрозуміти: звідки ці властивості взялися? Доведемо їх.

Отже, у правій частині цього виразу виходить такий твір:

Але за визначенням це рівень числа з показником, тобто:

Що і потрібно було довести.

Приклад : Спростіть вираз

Приклад : Спростіть вираз

Рішення : Важливо помітити, що у нашому правилі обов’язковомають бути однакові підстави. Тому ступеня з основою ми поєднуємо, а залишається окремим множником:

Ще одне важливе зауваження: це правило – тільки для добутку ступенів!

У жодному разі не можна написати, що.

Так само, як і з попередньою властивістю, звернемося до визначення ступеня:

Перегрупуємо цей твір так:

Виходить, що вираз множиться сам на себе раз, тобто, згідно з визначенням, це і є я ступінь числа:

По суті, це можна назвати «винесенням показника за дужки». Але ніколи не можна цього робити у сумі: !

Згадаймо формули скороченого множення: скільки разів нам хотілося написати? Але це не так, адже.

Ступінь із негативною основою.

До цього моменту ми обговорювали лише те, яким має бути показникступеня. Але якою має бути підстава? У ступенях з натуральним показником основа може бути будь-яким числом .

І справді, адже ми можемо множити один на одного будь-які числа, будь вони позитивні, негативні, або навіть. Давайте подумаємо, які знаки (« » або « ») матимуть ступеня позитивних та негативних чисел?

Наприклад, позитивним чи негативним буде число? А? ?

З першим усе зрозуміло: хоч би скільки позитивних чисел ми один на одного не множили, результат буде позитивним.

Але з негативними трохи цікавіше. Адже ми пам’ятаємо просте правило з 6 класу: «мінус на мінус дає плюс». Тобто, або. Але якщо ми помножимо на (), вийде -.

І так до нескінченності: при кожному наступному множенні знак змінюватиметься. Можна сформулювати такі прості правила:

1. парнуступінь – число позитивне.
2. Негативне число, зведене в непарнуступінь – число негативне.
3. Позитивне число будь-якої міри – число позитивне.
4. Нуль будь-якою мірою дорівнює нулю.

Визнач самостійно, який знак будуть мати такі вирази:

Впорався? Ось відповіді:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

У перших чотирьох прикладах, сподіваюся, все зрозуміло? Просто дивимося на основу та показник ступеня, і застосовуємо відповідне правило.

У прикладі 5) все теж не так страшно, як здається: адже неважливо, чому рівна підстава – міра парна, а значить, результат завжди буде позитивним. Ну, за винятком випадку, коли основа дорівнює нулю. Адже підстава не рівна? Очевидно ні, тому що (бо).

Приклад 6) вже не такий простий. Тут треба дізнатися, що менше: чи? Якщо згадати, що, стає ясно, що, отже, підстава менша за нуль. Тобто застосовуємо правило 2: результат буде негативним.

І знову використовуємо визначення ступеня:

Все як завжди – записуємо визначення ступенів і, ділимо їх один на одного, розбиваємо на пари та отримуємо:

Перш ніж розібрати останнє правило, розв’яжемо кілька прикладів.

Обчисли значення виразів:

Повернемося, наприклад:

Отже, тепер останнє правило:

Як доводитимемо? Звичайно, як завжди: розкриємо поняття ступеня і спростимо:

Ну а тепер розкриємо дужки. Скільки всього вийде букв? раз по множниках – що це нагадує? Це не що інше, як визначення операції множення: всього там виявилося множників Тобто це, за визначенням, ступінь числа з показником:

Ступінь з ірраціональним показником

На додаток до інформації про ступені для середнього рівня, розберемо ступінь з ірраціональним показником. Всі правила та властивості ступенів тут точно такі ж, як і для ступеня з раціональним показником, за винятком – адже за визначенням ірраціональні числа – це числа, які неможливо уявити у вигляді дробу, де і – цілі числа (тобто, ірраціональні числа – це всі дійсні числа, крім раціональних).

При вивченні ступенів з натуральним, цілим і раціональним показником, ми щоразу складали якийсь образ, аналогію, або опис у більш звичних термінах. Наприклад, ступінь із натуральним показником – це число, кілька разів помножене саме на себе; число в нульовому ступені – це як би число, помножене саме на себе раз, тобто його ще не почали множити, значить, саме число ще навіть не з’явилося – тому результатом є лише якась «заготівля числа», а саме число; ступінь з цілим негативним показником – це ніби стався якийсь «зворотний процес», тобто число не множили саме на себе, а ділили.

Уявити ступінь з ірраціональним показником дуже складно (так само, як складно уявити 4-мірний простір). Це швидше чисто математичний об’єкт, який математики створили, щоб розширити поняття ступеня на весь простір чисел.

Між іншим, у науці часто використовується ступінь із комплексним показником, тобто показник – це навіть не дійсне число. Але в школі ми про такі складнощі не думаємо, осягнути ці нові поняття тобі буде можливість в інституті.

Отже, що ми робимо, якщо бачимо ірраціональний показник ступеня? Усіми силами намагаємося його позбутися!:)

КОРОТКИЙ ВИКЛАД РОЗДІЛУ І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ

Ступенемназивається вираз виду: , де:

Ступінь із цілим показником

ступінь, показник якого – натуральне число (тобто ціле і позитивне).

Ступінь із раціональним показником

ступінь, показник якої – негативні та дробові числа.

Ступінь з ірраціональним показником

ступінь, показник якої – нескінченний десятковий дріб або корінь.

• Негативне число, зведене в парнуступінь – число позитивне.
• Негативне число, зведене в непарнуступінь – число негативне.
• Позитивне число будь-якої міри – число позитивне.
• Нуль у будь-якому ступені дорівнює.
• Будь-яке число в нульовому ступені дорівнює.

ТЕПЕР ТЕБЕ СЛОВО.

Як тобі стаття? Напиши внизу у коментарях сподобалася чи ні.

Розкажи про свій досвід використання властивостей ступенів.

Можливо, у тебе є питання. Або пропозиції.

Ну ось тема закінчена. Якщо ти читаєш ці рядки, то ти дуже крутий.

Тому що лише 5% людей здатні освоїти щось самостійно. І якщо ти дочитав до кінця, то ти потрапив у ці 5%!

Ти розібрався з теорією на цю тему. І, повторю, це… це просто супер! Ти вже краще, ніж абсолютна більшість твоїх однолітків.

Проблема в тому, що цього не вистачить.

Для успішної здачі ЄДІ, для вступу до інституту на бюджет і, найголовніше, для життя.

Я не буду тебе ні в чому переконувати, просто скажу одну річ.

Люди, які здобули хорошу освіту, заробляють набагато більше, ніж ті, хто її не отримав. Це – статистика.

Головне те, що вони БІЛЬШ ЩАСТЛИВІ (є такі дослідження). Можливо тому, що перед ними відкривається набагато більше можливостей, і життя стає яскравішим? Не знаю.

Що потрібно, щоб бути, напевно, кращим за інших на ЄДІ і бути зрештою… щасливішим?

Набити руку, вирішуючи завдання за цією темою.

На іспиті в тебе не питатимуть теорію.

Тобі треба буде вирішувати завдання на час.

І, якщо ти не вирішував їх (Багато!), ти обов’язково десь безглуздо помилишся або просто не встигнеш.

Це як у спорті – потрібно багато разів повторити, щоб виграти напевно.

Знайди де хочеш збірку, обов’язково з рішеннями, докладним розборомі вирішуй, вирішуй, вирішуй!

Можна скористатися нашими завданнями (не обов’язково), і ми їх, звичайно, рекомендуємо.

Для того, щоб набити руку за допомогою наших завдань, потрібно допомогти продовжити життя підручнику YouClever, який ти зараз читаєш.

1. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у цій статті
2. Відкрий доступ до всіх прихованих завдань у всіх 99 статтях підручника. Купити підручник – 499 руб

Так, у нас у підручнику 99 таких статей та доступ для всіх завдань та всіх прихованих текстів у них можна відкрити одразу.

Доступ до всіх прихованих завдань надається на весь час існування сайту.

Якщо наші завдання тобі не подобаються, то знайди інші. Тільки не зупиняйся на теорії.

“Зрозумів” і “Умію вирішувати” – це зовсім різні навички. Тобі потрібні обидва.

Знайди завдання та вирішуй!

Количисло множиться саме на себе, твір, добутокназивається ступенем.

Так 2.2 = 4, квадрат або другий ступінь 2-х
2.2.2 = 8, куб або третій ступінь.
2.2.2.2 = 16, четвертий ступінь.

Також, 10.10 = 100, другий ступінь 10.
10.10.10 = 1000, третій ступінь.
10.10.10.10 = 10000 четвертий ступінь.

І a.a = aa, другий ступінь a
a.a.a = aaa, третій ступінь a
a.a.a.a = aaaa, четвертий ступінь a

Початкове число називається коріннямступеня цього числа, тому що це число, з якого було створено ступінь.

Однак не зовсім зручно, особливо у разі високих ступенів, записувати всі множники, з яких складаються ступені. Тому використовується скорочений метод позначення. Корінь ступеня записується лише один раз, а праворуч і трохи вище біля нього, але трохи меншим шрифтом записується скільки разів виступає корінь як множник. Це число або буква називається показником ступеняабо ступенемчисла. Так, а 2 дорівнює a.a або aa, тому що корінь a двічі має бути помножений сам на себе, щоб вийшло ступінь aa. Також a 3 означає aaa, тобто тут a повторюється три разияк множник.

Показник першого ступеня є одним, але він зазвичай не записується. Так, a1 записується як a.

Ви не повинні плутати ступеня з коефіцієнтами. Коефіцієнт показує, як часто величина береться як частинацілого. Ступінь показує, як часто величина береться як множнику творі.
Так, 4a = a + a + a + a. Але a 4 = a.a.a.a

Схема позначення зі ступенями має своєрідну перевагу, дозволяючи нам висловлювати невідомуступінь. Для цього в показник ступеня замість числа записується літера. У процесі вирішення завдання ми можемо отримати величину, яка, як ми можемо знати, є деякоюступенем іншої величини. Але поки що ми не знаємо, це квадрат, куб або інший, більш високий рівень. Так, у вираженні a x показник ступеня означає, що цей вираз має деякуступінь, хоча не визначено який ступінь. Так, b m і d n зводяться ступенем m і n. Коли показник ступеня знайдено, числопідставляється замість літери. Тож якщо m=3, тоді b m = b 3 ; якщо m = 5, тоді b m =b 5 .

Метод запису значень за допомогою ступенів є також великою перевагою у разі використання виразів. Так, (a + b + d) 3 є (a + b + d). (a + b + d). (a + b + d), тобто куб тричлену (a + b + d). Але якщо записати цей вираз після зведення в куб, воно матиме вигляд
a 3 + 3a 2 b + 3a 2 d + 3ab 2 + 6abd + 3ad 2 + b 3 + d 3 .

Якщо ми візьмемо ряд ступенів, показники яких збільшуються або зменшуються на 1, ми виявимо, що твір збільшується на 1 загальний множникабо зменшується на спільний дільник, і цей множник чи дільник є початковим числом, яке зводиться у ступінь.

Так, у ряді aaaaa, aaaa, aaa, aa, a;
або a 5, a 4, a 3, a 2, a 1;
показники, якщо рахувати праворуч наліво, дорівнюють 1, 2, 3, 4, 5; і різниця між їх значеннями дорівнює 1. Якщо ми почнемо справа множитина a ми успішно отримаємо кілька значень.

Так a.a = a 2 другий член. І a 3 .a = a 4
a 2 .a = a 3 , третій член. a 4 .a = a 5 .

Якщо ми почнемо ліворуч ділитина a,
ми отримаємо a 5:a = a 4 та a 3:a = a 2 .
a 4: a = a 3 a 2: a = a 1

Але такий процес розподілу може бути продовжений і надалі, і ми отримуємо новий набір значень.

Так, a: a = a/a = 1. (1/a): a = 1/aa
1:a = 1/a (1/aa):a = 1/aaa.

Повний ряд буде: aaaaa, aaaa, aaa, aa, a, 1, 1/a, 1/aa, 1/aaa.

Або a 5 , a 4 , a 3 , a 2 , a, 1, 1/a, 1/a 2 , 1/a 3 .

Тут значення справавід одиниці є зворотнимизначенням ліворуч від одиниці. Тому ці ступені можуть бути названі зворотними ступенями a. Можна також сказати, що ліворуч є зворотними до ступенів праворуч.

Так, 1: (1/a) = 1. (a/1) = a. І 1: (1/a 3) = a 3 .

Той самий план запису може застосовуватися до багаточленам. Так, для a + b ми отримаємо безліч,
(a + b) 3 , (a + b) 2 , (a + b), 1, 1/(a + b), 1/(a + b) 2 , 1/(a + b) 3 .

Для зручності використається ще одна форма запису зворотних ступенів.

Відповідно до цієї форми, 1/a або 1/a 1 = a -1 . І 1/aaa чи 1/a 3 = a -3 .
1/aa чи 1/a 2 = a -2 . 1/aaaa або 1/a 4 = a-4.

Щоб зробити з показниками закінчений ряд з 1 як загальна різниця, a/a або 1, розглядається як таке, що не має ступеня і записується як a 0 .

Тоді, враховуючи прямі та зворотні ступені
замість aaaa, aaa, aa, a, a/a, 1/a, 1/aa, 1/aaa, 1/aaaa
можна записати a 4, a 3, a 2, a 1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.
Або a +4, a +3, a +2, a +1, a 0, a -1, a -2, a -3, a -4.

А ряд лише окремо взятих ступенів матиме вигляд:
+4,+3,+2,+1,0,-1,-2,-3,-4.

Корінь ступеня може бути виражений більш ніж однією літерою.

Так, aa.aa або (aa) 2 є другим ступенем aa.
І aa.aa.aa або (aa) 3 є третім ступенем aa.

Усі ступеня цифри 1 однакові: 1.1 або 1.1.1. дорівнюватиме 1.

Зведення в міру є знаходження значення будь-якого числа шляхом множення цього числа саме на себе. Правило зведення у ступінь:

Помножуйте величину саму себе стільки разів, скільки зазначено у ступеня числа.

Це є загальним всім прикладів, які можуть виникнути у процесі зведення ступінь. Але буде правильно дати пояснення, як воно застосовується до окремих випадків.

Якщо ступінь зводиться лише один член, він множиться сам він стільки разів, скільки показує показник ступеня.

Четвертий ступінь a є a 4 або aaaa. (Art. 195.)
Шоста ступінь y є y 6 або yyyyyy.
N-а ступінь x є x n або xxx . n раз повторене.

Якщо необхідно звести у ступінь вираз із кількох членів, застосовується принцип, згідно з яким ступінь добутку кількох множників дорівнює добутку цих множників, зведених у міру.

Так (ay) 2 = a 2 y 2; (ay) 2 = ay.ay.
Але ay.ay = ayay = aayy = a 2 y 2.
Так, (bmx) 3 = bmx.bmx.bmx = bbbmmmxxx = b 3 m 3 x 3 .

Тому в знаходженні ступеня твору ми можемо або оперувати з усім твором відразу, або ми можемо оперувати з кожним множником окремо, а потім помножити їх значення зі ступенями.

Приклад 1. Четвертий ступінь dhy є (dhy) 4 або d 4 h 4 y 4 .

Приклад 2. Третій ступінь 4b, є (4b) 3 або 4 3 b 3 або 64b 3 .

Приклад 3. N-ий ступінь 6ad є (6ad) n або 6 n a n d n .

Приклад 4. Третій ступінь 3m.2y є (3m.2y) 3 або 27m 3 .8y 3 .

Ступінь двочлена, що з членів, сполучених знаком + і -, обчислюється множенням його членів. Так,

(a + b) 1 = a + b, перший ступінь.
(a + b) 1 = a 2 + 2ab + b 2 другий ступінь (a + b).
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 третій ступінь.
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 четвертий ступінь.

Квадрат a – b є a 2 – 2ab + b 2 .

Квадрат a + b + h є a 2 + 2ab + 2ah + b 2 + 2bh + h 2

Вправа 1. Знайдіть куб a + 2d + 3

Вправа 2. Знайдіть четвертий ступінь b+2.

Вправа 3. Знайдіть п’ятий ступінь x+1.

Вправа 4. Знайдіть шостий ступінь 1 – b.

Квадрати суми сумиі різниціДвочлени зустрічаються так часто в алгебрі, що необхідно їх знати дуже добре.

Якщо ми множимо a + h саме на себе або a – h саме на себе,
ми отримуємо: (a + h)(a + h) = a 2 + 2ah + h 2 також, (a – h)(a – h) = a 2 – 2ah + h 2 .

Звідси видно, що у разі, перший і останній члени є квадрати a і h, а середній член є подвоєний твір a на h. Звідси квадрат суми і різниці двочленів може бути знайдений, використовуючи таке правило.

Квадрат двочлена, обидва члени яких позитивні, дорівнює квадрату першого члена + подвоєний твір обох членів + квадрат останнього члена.

Квадрат різницідвочленів дорівнює квадрату першого члена мінус подвоєний твір обох членів плюс квадрат другого члена.

Приклад 1. Квадрат 2a + b є 4a 2 + 4ab + b 2 .

Приклад 2. Квадрат ab + cd є a 2 b 2 + 2abcd + c 2 d 2 .

Приклад 3. Квадрат 3d – h, є 9d 2 + 6dh + h 2 .

Приклад 4. Квадрат a – 1 є a 2 – 2a + 1.

Щоб дізнатися спосіб знаходження вищих ступенів двочленів, дивіться наступні розділи.

У багатьох випадках є ефективним записувати ступенябез множення.

Так, квадрат a + b є (a + b) 2 .
N-а ступінь bc + 8 + x є (bc + 8 + x) n

У таких випадках дужки охоплюють Усечлени під ступенем.

Але якщо корінь ступеня складається з кількох множників, дужки можуть охоплювати весь вираз, або можуть застосовуватися окремо до множників залежно від зручності.

Так, квадрат (a + b)(c + d) є або [(a + b).(c + d)] 2 або (a + b) 2 .(c + d) 2 .

Для першого із цих виразів результатом є квадрат твору двох множників, а для другого – твором їх квадратів. Але вони рівні один одному.

Куб a.(b + d), є 3 або a 3 .(b + d) 3 .

Необхідно також враховувати знак перед залученими членами. Дуже важливо пам’ятати, що коли корінь ступеня позитивний, всі його позитивні також позитивні. Але коли корінь негативний, значення з непарнимиступенями негативні, у той час як значення парнихстепенів є позитивними.

Другий ступінь (-a) є +a 2
Третій ступінь (-a) є -a 3
Четвертий ступінь (-a) є +a 4
П’ятий ступінь (-a) є -a 5

Звідси будь-яка непарнаступінь має той самий знак, як і число. Але парнаступінь є позитивною незалежно від того, чи має число негативний або позитивний знак.
Так, +a.+a = +a 2
І -a.-a = +a 2

Величина, вже зведена до ступеня, ще раз зводиться до ступеня шляхом множення показників ступенів.

Третій ступінь a2 є a2.3 = a6.

Для a2 = aa; куб aa є aa.aa.aa = aaaaaa = a 6; що є шостим ступенем a, але третім ступенем a 2 .

Четвертий ступінь a 3 b 2 є a 3.4 b 2.4 = a 12 b 8

Третій ступінь 4a 2 x 64a 6 x 3 .

П’ятий ступінь (a + b) 2 є (a + b) 10 .

N-ий ступінь (x – y) m є (x – y) mn

(a 3 b 2 h 4) 3 = a 9 b 6 h 12

Правило однаково застосовується до негативнимступеням.

Приклад 1. Третій ступінь a -2 є a -3.3 = a -6.

Для a -2 = 1/aa, і третій ступінь цього
(1/aa).(1/aa).(1/aa) = 1/aaaaaa = 1/a 6 = a -6

Четвертий ступінь a 2 b -3 є a 8 b -12 або a 8/b 12 .

N-а ступінь ax-m є x-mn або 1/x.

Однак, тут треба пам’ятати, що якщо знак, попереднійступеня є “-“, то він повинен бути змінений на “+” завжди, коли ступінь є парним числом.

Приклад 1. Квадрат -a3 є +a6. Квадрат -a3 є -a3.-a3, яке, згідно з правилами знаків при множенні, є +a6.

2. Але куб -3 є -a 9 . Для -a3.-a3.-a3 = -a9.

Тут результат може бути позитивним або негативним залежно від того, яке є n – парне чи непарне.

Якщо дрібзводиться в міру, то зводяться в міру чисельник і знаменник.

Квадрат a/b є a2/b2. Відповідно до правила множення дробів,
(a/b)(a/b) = aa/bb = a 2 b 2

Другий, третій і n-ий ступеня 1/a є 1/a 2 , 1/a 3 і 1/a n .

Приклади двочленів, в яких один із членів є дробом.

1. Знайдіть квадрат x + 1/2 та x – 1/2.
(x + 1/2) 2 = x 2 + 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 + x + 1/4
(x – 1/2) 2 = x 2 – 2.x. (1/2) + 1/2 2 = x 2 – x + 1/4

4 Квадрат x-b/m є x2-2bx/m + b2/m2.

Раніше було показано, що дробовий коефіцієнтможе бути переміщений з чисельника в знаменник або знаменника в чисельник. Використовуючи схему запису зворотних ступенів, видно, що будь-який множниктакож може бути переміщений, якщо буде змінено знак ступеня.

Так, у дробі ax -2 /y, ми можемо перемістити x з чисельника у знаменник.
Тоді ax -2 / y = (a/y). x -2 = (a/y). (1/x 2 = a/yx 2).

У дробі a/by 3 ми можемо перемістити з знаменника в чисельник.
Тоді a/by 2 = (a/b).(1/y 3) = (a/b).y -3 = ay -3 /b.

Так само ми можемо перемістити множник, який має позитивний показник ступеня в чисельник або множник з негативним ступенем у знаменник.

Так, ax 3 /b = a/bx -3. Для x 3 оберненим є x -3 , що є x 3 = 1/x -3.

Отже, знаменник будь-якого дробу може бути повністю вилучений, чи чисельник може бути скорочений до одиниці, що змінить значення висловлювання.

Зведення в ступінь – операція, тісно пов’язана з множенням, це операція – результат багаторазового множення якогось числа на себе. Зобразимо формулою: a1 * a2 * . * an = an.

Наприклад, а = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3 = 8 .

Взагалі зведення у ступінь часто використовується у різних формулах з математики та фізики. Ця функція має більш наукове призначення, ніж чотири основні: Додавання, Віднімання, Множення, Поділ.

Зведення числа до ступеня

Зведення числа до ступеня – операція не складна. Воно пов’язане з множенням подібно до зв’язку множення і додавання. Запис an – короткий запис n-ого кількість чисел «а» помножених друг на друга.

Розглянь будівництво на найпростіших прикладах, переходячи до складних.

Наприклад, 42. 42 = 4 * 4 = 16 . Чотири в квадраті (у другому ступені) одно шістнадцяти. Якщо вам не зрозуміло множення 4*4, то читайте нашу стати про множення.

Розглянемо ще один приклад: 5^3. 5^3 = 5 * 5 * 5 = 25 * 5 = 125 . П’ять у кубі (у третьому ступені) дорівнює ста двадцяти п’яти.

Ще один приклад: 9^3. 9^3 = 9 * 9 * 9 = 81 * 9 = 729 . Дев’ять у кубі дорівнює семи сотням двадцяти дев’яти.

Формули зведення у ступінь

Щоб грамотно зводити в ступінь, потрібно пам’ятати і знати формули, вказані нижче. У цьому немає нічого понад природне, головне зрозуміти суть і тоді вони не тільки запам’ятаються, а й видадуться легкими.

Зведення одночлена в ступінь

Що являє собою одночлен? Це твір чисел та змінних у будь-якій кількості. Наприклад, двох – одночлен. І саме про зведення в ступінь таких одночленів дана стаття.

Користуючись формулами зведення в міру обчислити зведення одночлена в міру буде не важко.

Наприклад, (3x^2y^3)^2= 3^2 * x^2 * 2 * y^(3 * 2) = 9x^4y^6 ; Якщо зводити одночлен у ступінь, то ступінь зводиться кожна складова одночлена.

Зводячи в ступінь змінну вже має ступінь, ступеня перемножуються. Наприклад, (x^2)^3 = x^(2 * 3) = x^6;

Зведення у негативний ступінь

Негативний ступінь – зворотне число. Що таке зворотне число? Будь-якому числу Х зворотним буде 1/X. Тобто Х-1 = 1/X. Це і є суть негативного ступеня.

Чому так? Так як у ступеня є мінус, то просто переносимо в знаменник цей вираз, а потім зводимо до його в третій ступінь. Чи не так?

Зведення в дробовий ступінь

Почнемо розгляд питання на конкретному прикладі. 43/2. Що означає рівень 3/2? 3 – чисельник, означає зведення числа (у разі 4) в куб. Число 2 – знаменник, це витяг кореня другого ступеня з числа (в даному випадку 4).

Тоді отримуємо квадратний корінь із 43 = 2^3 = 8 . Відповідь: 8.

Отже, знаменник дробового ступеня може бути, як 3, так і 4 і до нескінченності будь-яким числом і це визначає ступінь квадратного кореня, що витягується з заданого числа. Звичайно ж, знаменник не може дорівнювати нулю.

Зведення кореня до ступеня

Якщо корінь зводиться у ступінь, що дорівнює ступеню самого кореня, то відповіддю буде підкорене вираз. Наприклад, (√х)2 = х. І так у будь-якому разі рівності ступеня кореня та ступеня зведення кореня.

Якщо (√x)^4. То (√ x) ^ 4 = x ^ 2. Щоб перевірити рішення переведемо вираз у вираз із дробовим ступенем. Оскільки корінь квадратний, то знаменник дорівнює 2. Якщо корінь зводиться в четверту ступінь, то чисельник 4. Отримуємо 4/2=2. Відповідь: x = 2.

У будь-якому випадку найкращий варіант просто перевести вираз у вираз із дробовим ступенем. Якщо не скорочуватиметься дріб, значить така відповідь і буде, за умови, що корінь із заданого числа не виділяється.

Зведення до ступеня комплексного числа

Що таке комплексне число? Комплексне число – вираз, що має формулу a + b * i; a, b – дійсні числа. i – число, яке за зведення в квадрат дає число -1.

Розглянемо приклад. (2 + 3i) ^2.

(2 + 3i) ^ 2 = 22 +2 * 2 * 3i + (3i) ^ 2 = 4 +12i ^-9 = -5 +12i.

Запишіться на курс “Прискорюємо усний рахунок, НЕ ментальна арифметика”, щоб навчитися швидко та правильно складати, віднімати, множити, ділити, зводити числа у квадрат і навіть добувати коріння. За 30 днів ви навчитеся використовувати легкі прийоми для спрощення арифметичних операцій. У кожному уроці нові прийоми, зрозумілі приклади та корисні завдання.

Зведення в ступінь онлайн

За допомогою нашого калькулятора Ви зможете порахувати зведення числа в ступінь:

Зведення до ступеня 7 клас

Зведення у ступінь починають проходити школярі лише у сьомому класі.

Зведення в ступінь – операція, тісно пов’язана з множенням, це операція – результат багаторазового множення якогось числа на себе. Зобразимо формулою: a1 * a2 * . * an = an.

Наприклад, а = 2, n = 3: 2 * 2 * 2 = 2 ^ 3 = 8 .

Зведення у ступінь презентація

Презентація по зведенню на ступінь, розраховану на семикласників. Презентація може пояснити деякі незрозумілі моменти, але, мабуть, таких моментів не буде завдяки нашій статті.

Підсумок

Ми розглянули лише верхівку айсберга, щоб зрозуміти математику краще – записуйтесь на наш курс: Прискорюємо усний рахунок – НЕ ментальна арифметика.

З курсу ви не просто дізнаєтеся десятки прийомів для спрощеного та швидкого множення, складання, множення, поділу, обчислення відсотків, а й відпрацюєте їх у спеціальних завданнях та розвиваючих іграх! Усний рахунок також вимагає багато уваги та концентрації, які активно тренуються під час вирішення цікавих завдань.

Протягом розмови про рівень числа логічно дати раду знаходженням значення ступеня. Цей процес отримав назву зведення в ступінь. У цій статті ми вивчимо, як виконується зведення в ступінь, при цьому торкнемося всіх можливих показників ступеня – натуральний, цілий, раціональний та ірраціональний. І за традицією докладно розглянемо рішення прикладів зведення чисел у різні ступені.

Що означає «зведення до ступеня»?

Почати слід із пояснення, що називають зведенням у ступінь. Ось відповідне визначення.

Зведення в ступінь– Це знаходження значення ступеня числа.

Таким чином, знаходження значення ступеня числа a з показником r та зведення числа a у ступінь r – це одне й те саме. Наприклад, якщо поставлено завдання «обчисліть значення ступеня (0,5) 5», то його можна переформулювати так: «Зведіть число 0,5 до ступеня 5».

Тепер можна переходити безпосередньо до правил, за якими виконується зведення у ступінь.

Зведення числа в натуральний ступінь

Насправді рівність виходячи з звичайно застосовується як . Тобто, при зведенні числа a в дробовий ступінь m/n спочатку витягується корінь n-го ступеня з числа a після чого отриманий результат зводиться в цілий ступінь m.

Розглянемо розв’язання прикладів зведення на дробовий ступінь.

Обчисліть значення ступеня.

Покажемо два способи вирішення.

Перший метод. За визначенням ступеня з дробовим показником. Обчислюємо значення ступеня під знаком кореня, після чого отримуємо кубічний корінь: .

Другий спосіб. За визначенням ступеня з дробовим показником і на підставі властивостей коріння справедливі рівність . Тепер витягаємо корінь , нарешті, зводимо в цілий ступінь .

Очевидно, що отримані результати зведення в дрібний ступінь збігаються.

Зазначимо, що дробовий показник ступеня може бути записаний у вигляді десяткового дробу або змішаного числа, у цих випадках його слід замінити відповідним звичайним дробом, після чого виконувати зведення у ступінь.

Запишемо показник ступеня у вигляді звичайного дробу (при необхідності дивіться статтю): . Тепер виконуємо зведення в дробовий ступінь:

Слід також сказати, що зведення чисел у раціональні міри є досить трудомістким процесом (особливо коли в чисельнику та знаменнику дробового показника ступеня знаходяться досить великі числа), який зазвичай проводиться з використанням обчислювальної техніки.

На закінчення цього пункту зупинимося на зведенні числа нуль у дрібний ступінь. Дробного ступеня нуля виду ми надали наступного сенсу: маємо , а за нуль у ступені m/n не визначено. Отже, нуль у дрібному позитивному ступені дорівнює нулю, наприклад, . А нуль у дробовій негативною мірою немає сенсу, наприклад, немає сенсу висловлювання і 0 -4,3 .

Зведення в ірраціональний ступінь

Іноді виникає необхідність дізнатися значення ступеня числа з ірраціональним показником. При цьому в практичних цілях зазвичай достатньо отримати значення ступеня з точністю деякого знака. Відразу зазначимо, що це значення на практиці обчислюється за допомогою електронної обчислювальної техніки, оскільки зведення в ірраціональний ступінь вручну потребує великої кількості громіздких обчислень. Але все ж таки опишемо в загальних рисах суть дій.

Щоб отримати наближене значення ступеня числа a з ірраціональним показником, береться деяке десяткове наближення показника ступеня і обчислюється значення ступеня. Це і є наближеним значенням ступеня числа a з ірраціональним показником . Чим точне десяткове наближення числа буде взято спочатку, тим більше точне значення ступеня буде отримано в результаті.

Як приклад обчислимо наближене значення ступеня 2 1,174367. Візьмемо наступне десяткове наближення ірраціонального показника: . Тепер зведемо 2 раціональний ступінь 1,17 (суть цього процесу ми описали в попередньому пункті), отримуємо 2 1,17 ≈2,250116 . Таким чином, 2 1,174367. ≈2 1,17 ≈2,250116 . Якщо взяти більш точне десяткове наближення ірраціонального показника ступеня, наприклад, то отримаємо більш точне значення вихідного ступеня: 2 1,174367. ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

• Віленкін Н.Я., Жохов В.І., Чесноков А.С., Шварцбурд С.І. МатематикаЖ підручник для 5 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 7 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 8 кл. загальноосвітніх установ.
• Макарічев Ю.М., Міндюк Н.Г., Нешков К.І., Суворова С.Б. Алгебра: підручник для 9 кл. загальноосвітніх установ.
• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 – 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Рекомендуємо також

Почему число в степени 0 равно 1?

Когда число возводится в степень с натуральным показателем, то имеется в виду, что оно умножается само на себя столько раз, каков показатель степени:

4 3 = 4 × 4 × 4; 2 6 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2

Когда же показатель степени равен 1, то при возведении имеется всего лишь один множитель (если тут вообще можно говорить о множителях), и поэтому результат возведения равен основанию степени:

Но как в таком случае быть с нулевым показателем? Что на что умножается?

Попробуем пойти иным путем. Известно, что если у двух степеней одинаковые основания, но разные показатели, то основание можно оставить тем же самым, а показатели либо сложить друг с другом (если степени перемножаются), либо вычесть показатель делителя из показателя делимого (если степени делятся):

3 2 × 3 1 = 3 2+1 = 3 3 = 3 × 3 × 3 = 27
4 5 ÷ 4 3 = 4 5–3 = 4 2 = 4 × 4 = 16

А теперь рассмотрим такой пример:

Что если мы не будем пользоваться свойством степеней с одинаковым основанием и произведем вычисления по порядку их следования:

Вот мы и получили заветную единицу. Таким образом нулевой показатель степени как бы говорит о том, что число не умножается само на себя, а делится само на себя.

И отсюда становится понятно, почему выражение 0 0 не имеет смысла. Ведь нельзя делить на 0.

Можно рассуждать по-другому. Если имеется, например, умножение степеней 5 2 × 5 0 = 5 2+0 = 5 2 , то отсюда следует, что 5 2 было умножено на 1. Следовательно, 5 0 = 1.