27.6: Принцип Архімеда – плавуча сила

Нехай \(\overrightarrow<\mathbf>^\) позначають результуючу силу, звану плавучою силою, на поверхні об’ємного елемента за рахунок тиску рідини. Плавуча сила повинна точно врівноважувати силу тяжіння, оскільки рідина знаходиться в статичній рівновазі (рис. 27.7), \[\overrightarrow<\mathbf<0>>=\overrightarrow<\mathbf>^+\overrightarrow<\mathbf>^=\overrightarrow<\mathbf>^-\rho_ V g \hat<\mathbf> \nonumber \] Тому \[\overrightarrow<\mathbf>^=\rho_ V g \hat<\mathbf> \nonumber \] плавуча сила, отже, плавуча сила залежить від щільності рідини, гравітаційної постійної та об’єму рідкого елемента. Цей макроскопічний опис плавучої сили, що виникає внаслідок дуже великої кількості зіткнень молекул рідини, називається принципом Архімеда. Тепер ми можемо зрозуміти, чому, коли ми поміщаємо камінь у воду, він тоне. Щільність каменю більше, ніж щільність води, і тому плавуча сила на камені менше, ніж гравітаційна сила на камені, і тому вона прискорюється вниз. Помістіть рівномірний об’єкт об’ємом V і масою M з щільністю \(\rho_=M / V\) всередині рідини. Якщо щільність предмета менше щільності рідини, ρ, об’єкт буде \(\rho_<\rho_\) плавати на поверхні рідини. Частина предмета, яка знаходиться під поверхнею, витісняє \(V_\) обсяг рідини. Частина предмета, яка знаходиться над поверхнею, витісняє \(V_=V-V_\) обсяг повітря (рис. 27.8). Малюнок 27.8: Плаваючий об'єкт на поверхні рідини Оскільки щільність повітря набагато менше щільності рідини, ми можемо знехтувати плавучою силою повітря на об'єкт. Малюнок 27.9: Діаграма сили вільного тіла на плаваючому об'єкті Плавуча сила рідини на об'єкті, \(\overrightarrow<\mathbf>_^=\rho_ V_ g \hat<\mathbf>\) повинна точно врівноважувати гравітаційну силу на об’єкті за рахунок землі, \(\overrightarrow<\mathbf>_^\) \[\overrightarrow<\mathbf<0>>=\overrightarrow<\mathbf>_^+\overrightarrow<\mathbf>_^=\rho_ V_ g \hat<\mathbf>-\rho_ V g \hat<\mathbf>=\rho_ V_ g \hat<\mathbf>-\rho_\left(V_+V_\right) g \hat<\mathbf> \nonumber \] тому співвідношення обсягу оголених і занурених частин об’єкта повинно задовольняти \[\rho_ V_=\rho_\left(V_+V_\right) \nonumber \] Ми можемо вирішити Eq. (27.6.4) і визначити співвідношення обсягу оголених і занурених частин об’єкта \[\frac=\frac<\left(\rho_-\rho_\right)><\rho_> \nonumber \] Ми тепер також можемо зрозуміти, чому плаває корабель масою М. Більш щільна сталь витісняє обсяг води, \(V_\) але набагато більший обсяг води \(V_\) витісняється повітрям. Плавуча сила на кораблі є тоді \[\overrightarrow<\mathbf>_^=\rho_\left(V_+V_\right) g \hat<\mathbf> \nonumber \] Якщо ця сила дорівнює за величиною Mg, корабель буде плавати.

Приклад 27.4 Принцип Архімеда: Плаваюча деревина Розглянемо склянку рівномірної площі поперечного перерізу А, заповнену водою щільності \(\rho_\) . Коли в стакан поміщений прямокутний брусок з дерева площею поперечного перерізу \(A_\) , висоти і маси \(M_\) , дно блоку знаходиться на невідомій глибині z нижче поверхні води. (а) Наскільки нижче поверхні z знаходиться нижня частина блоку? (б) На скільки піднялася висота води в склянці, коли блок помістили в склянку? Рішення Ми нехтуємо плавучою силою через витіснене повітря, оскільки вона незначна порівняно з плавучою силою через воду. Стакан, з плаваючим блоком деревини, показаний на малюнку 27.10. Малюнок 27.10 Блок деревини, що плаває в склянці води

(а) Щільність блоку деревини – \(\rho_=M_ / V_=M_ / A_ h\) Об’єм зануреної частини деревини становить \(V_=A_ z\) . Обсяг блоку над поверхнею задається по \(V_=A_(h-z)\) . Ми можемо застосувати Eq. (27.6.5), і визначити, що Тепер \[\frac=\frac(h-z)> z>=\frac=\frac<\left(\rho_-\rho_\right)>> \nonumber \] ми можемо вирішити Eq. (27.6.7) для глибини z дна блоку \[z=\frac>> h=\frac <\left(M_/ A_ h\right)>> h=\frac> A_> \nonumber \] (б) Перед тим, як блок був поміщений в склянку, обсяг води в склянці дорівнює \(V_=A s_\) , де \(s_\) початкова висота води в склянці. Коли деревина плаває в склянці, обсяг води в склянці дорівнює тому \(V_=A s_-A_ z\) , де \(s_\) знаходиться кінцева висота води, в склянці і \(A_ z\) є об’ємом зануреної частини блоку. Оскільки обсяг води не змінився \[A s_=A s_-A_ z \nonumber \] Ми можемо вирішити Eq. (27.6.9) для зміни висоти води \(\Delta s=s_-s_\) , в плані i глибина z дна блоку, Тепер \[\Delta s=s_-s_=\frac> z \nonumber \] підставляємо Eq. (27.6.8) в Eq. (27.6.10) і визначаємо зміну висоти води \[\Delta s=s_-s_=\frac> A> \nonumber \]

Приклад 27.5 Рок всередині плаваючої салатниці Камінь маси г і щільності \(m_\) поміщають в салатник з масою \(m_\) . Салатник і скеля плавають в склянці води щільності \(\rho_\) . Стакан має площу поперечного перерізу А. породу потім виймають з чаші і дають опуститися на дно мензурки. Підвищується або падає рівень води при падінні породи в воду? Малюнок 27.11: Скеля в плаваючому салатнику Рішення Коли гірська порода поміщається в плаваючий салатник, обсяг V води витісняється. Плавуча сила \(\overrightarrow<\mathbf>^=\rho_ V g \hat<\mathbf>\) врівноважує силу тяжіння на скелі і салатниці, \[\left(m_+m_\right) g=\rho_ V g=\rho_\left(V_+V_\right) g \nonumber \] де \(V_\) знаходиться частина обсягу витісненої води, яка необхідна для врівноваження якраз сили тяжіння на скелі \(m_ g=\rho_ V_ g\) , і \(V_\) є частиною обсягу зміщеного вода, яка необхідна для врівноваження саме сили тяжіння на чаші \(m_ g=\rho_ V_ g\) , Тому \(V_\) повинна задовольняти умову, що \(V_=m_ g / \rho_\) . Обсяг породи задається по \(V_=m_ / \rho_\) . Зокрема \[V_=\frac><\rho_> V_ \nonumber \] Оскільки щільність породи більша за щільність води, скеля витісняє більше води \(\rho_>\rho_\) , коли вона плаває, ніж коли вона занурена у воду, \(V_>V_\) . Тому рівень води падає, коли скеля опускається в воду з салатниці.

Приклад 27.6 Блок, що плаває між нафтою та водою Кубічний брусок з дерева, кожна сторона довжиною l = 10 см, плаває на стику між повітрям і водою. Потім повітря замінюється d = 10 см масла, яке плаває поверх води. а) Підніметься чи впаде блок? Коротко поясніть свою відповідь. Після того, як масло було додано та встановлено рівновагу, кубічний блок деревини плаває на межі розділу між нафтою та водою з нижньою поверхнею \(h=2.0 \times 10^ <-2>\mathrm\) нижче межі розділу. Щільність масла є \(\rho_=6.5 \times 10^ \mathrm \cdot \mathrm^\) . Щільність води становить \(\rho_=1.0 \times 10^ \mathrm \cdot \mathrm^\) . б) Яка щільність блоку деревини? Рішення (а) Плавуча сила дорівнює гравітаційній силі на блоці. Тому \[\rho_ g V=\rho_<\mathrm> g V_+\rho_ g\left(V-V_\right) \nonumber \] де \(V_\) обсяг води, \(V_=V-V_\) витісняється блоком, – це обсяг повітря, витісненого блоком V – це обсяг блоку, \(\rho_\) це щільність блоку деревини, а \(\rho_\) це щільність повітря (рис. 27.12 (а)). Малюнок 27.12: (а) Блок, що плаває на воді, (б) Блок, що плаває на межі розділу нафти – вода Тепер вирішуємо екв. (27.6.14) для обсягу води, витісненої блоком \[V_=\frac<\left(\rho_-\rho_\right)><\left(\rho_-\rho_\right)> V \nonumber \] Коли масло додається, ми можемо повторити аргумент, що веде до Eq. (27.6.15), \(\rho_\) замінивши на \(\rho_\) , (рис. 27.12 (b)), поступаючись \[\rho_ g V=\rho_ g V_^<\prime>+\rho_ g V_^ <\prime>\nonumber \] де \(V_^<\prime>\) – обсяг води, витісненої \(V_^<\prime>\) блоком, – обсяг масла, витісненого блоком, V – обсяг блоку, а ρ b – щільність блоку деревини. \(V_^<\prime>=V-V_^<\prime>\) Тому що ми переписуємо Eq. (27.6.16) як \[\rho_ g V=\rho_<\mathrm> g V_^<\prime>+\rho_ g\left(V-V_^<\prime>\right) \nonumber \] Тепер вирішуємо екв. (27.6.17) для обсягу води, витісненої блоком, \[V_^<\prime>=\frac<\left(\rho_-\rho_\right) V><\left(\rho_-\rho_\right)> \nonumber \] Тому що \(\rho_ \gg \rho_\) , порівнюючи рівняння (27.6.18) і (27.6.15), ми робимо висновок, що \(V_^<\prime>>V_\) . Блок піднімається, коли масло додається, оскільки витісняється більше води. (б) Використовуємо той факт \(V_^<\prime>=l^ h, V_^<\prime>=l^(l-h)\) , що, і \(V=l^\) , в ур. (27.6.16) і вирішуємо для щільності блоку \[\rho_=\frac <\rho_V_^<\prime>+\rho_ V_^<\prime>>=\frac <\rho_l^ h+\rho_ l^(l-h)>=\left(\rho_-\rho_\right) \frac+\rho_ \nonumber \] Тепер підставляємо задані значення з постановки задачі і знаходимо, що щільність блоку дорівнює \ [\ begin
\ rho_ =\ лівий (\ лівий (1.0\ раз 10^ \ mathrm \ cdot\ mathrm ^ \ праворуч) -\ вліво (6.5\ раз 10^ \ mathrm \ cdot\ mathrm ^ \ праворуч)\ frac \ mathrm \ праворуч)> \ mathrm \ праворуч)> +\ ліворуч (6.5\ раз 10^ \ mathrm \ cdot\ mathrm ^ \ право)\
\ rho_ =7.2\ раз 10^ \ математика \ cdot\ mathrm ^
\ кінець \ nonnumber\] Тому що \(\rho_>\rho_\) , вищевказаний аналіз є дійсним.

Recommended articles

Як обчислити густину – оброблений приклад завдання

Щільність – це вимірювання кількості маси на одиницю об’єму . Щоб розрахувати щільність , необхідно знати масу і об’єм предмета. Формула щільності:

Маса зазвичай є найпростішою частиною, тоді як знайти об’єм може бути складно. Об’єкти простої форми зазвичай даються в домашніх завданнях, таких як використання куба, цеглинки або кулі . Для простої форми використовуйте формулу для визначення об’єму. Для неправильної форми найпростішим рішенням є вимірювання витісненого об’єму, помістивши об’єкт у рідину.

Цей приклад задачі показує кроки, необхідні для обчислення щільності об’єкта та рідини, якщо задано масу та об’єм.

Ключові висновки: як розрахувати щільність

• Щільність – це кількість речовини, що міститься в об’ємі. Щільний об’єкт важить більше, ніж менш щільний об’єкт такого ж розміру. На ньому буде плавати об’єкт менший за щільність води; один з більшою щільністю потоне.
• Рівняння густини таке: густина дорівнює масі на одиницю об’єму або D = M / V.
• Ключ до розв’язання щільності – повідомити правильні одиниці маси та об’єму. Якщо вас попросять надати густину в одиницях, відмінних від маси та об’єму, вам потрібно буде їх перетворити.

Запитання 1: Яка щільність кубика цукру масою 11,2 г зі стороною 2 см?

Крок 1: Знайдіть масу та об’єм кубика цукру.

Маса = 11,2 г.
Об’єм = куб зі стороною 2 см.

Об’єм куба = (довжина сторони) 3
Об’єм = (2 см) 3
Об’єм = 8 см 3

Крок 2. Підключіть свої змінні до формули щільності.

щільність = маса/об’єм
щільність = 11,2 грам/8 см 3
щільність = 1,4 грам/см 3

Відповідь 1: Густина кубика цукру 1,4 г/см 3 .

Запитання 2: Розчин води та солі містить 25 грамів солі в 250 мл води. Яка щільність солоної води? (Використовуйте щільність води = 1 г/мл)

Крок 1: Знайдіть масу та об’єм солоної води.

Цього разу є дві меси. Щоб знайти масу солоної води, потрібні як маса солі, так і маса води. Вказано масу солі, але вказано лише об’єм води. Нам також дано густину води , тому ми можемо обчислити масу води.

щільність _води = маса _води / об’єм _води

маса _води = щільність _води · об’єм маса _{води вода} = 1 г/мл · 250 мл маса _води = 250 грам

Тепер нам достатньо, щоб знайти масу солоної води.

_{загальна} маса = маса _солі + маса _{води загальна}
маса = 25 г + 250 г _{загальна} маса = 275 г

Крок 2. Підставте свої значення до формули щільності.

щільність = маса/об’єм
щільність = 275 г/250 мл
щільність = 1,1 г/мл

Відповідь 2: Щільність солоної води 1,1 г/мл.

Знаходження об’єму за об’ємом

Якщо вам дано звичайний твердий предмет, ви можете виміряти його розміри та обчислити об’єм. На жаль, об’єм небагатьох об’єктів у реальному світі можна так легко виміряти! Іноді потрібно обчислити об’єм за об’ємом.

Як вимірюєте переміщення? Скажімо, у вас є металевий іграшковий солдатик. Ви можете сказати, що він досить важкий, щоб тонути у воді, але ви не можете використовувати лінійку, щоб виміряти його розміри. Щоб виміряти об’єм іграшки, наповніть градуйований циліндр водою приблизно наполовину. Запишіть гучність. Додайте іграшку. Переконайтеся, що всі бульбашки повітря, які можуть прилипнути до нього, видалені. Запишіть нове вимірювання об’єму. Об’єм іграшкового солдатика — це кінцевий об’єм мінус початковий об’єм. Ви можете виміряти масу (сухої) іграшки, а потім обчислити щільність.

Поради щодо обчислення щільності

У деяких випадках масу вам видадуть. Якщо ні, вам потрібно буде отримати його самостійно, зваживши об’єкт. Під час визначення маси майте на увазі, наскільки точним і точним буде вимірювання. Те саме стосується вимірювання об’єму. Очевидно, ви отримаєте точніші вимірювання за допомогою градуйованого циліндра, ніж за допомогою мензурки, однак вам може не знадобитися таке точне вимірювання. Значні цифри , зазначені в обчисленні щільності, є найменш точними вимірюваннями . Отже, якщо ваша маса становить 22 кг, немає необхідності повідомляти вимірювання об’єму з точністю до мікролітра.

Ще одна важлива концепція, про яку слід пам’ятати, — чи має ваша відповідь сенс. Якщо предмет здається важким для свого розміру, він повинен мати високе значення щільності. Як високо? Майте на увазі, що щільність води становить приблизно 1 г/см³. Предмети меншої щільності плавають у воді, а ті, що мають більшу щільність, тонуть у воді. Якщо предмет тоне у воді, ваше значення густини має бути більше 1!

Додаткова допомога в домашньому завданні

Потрібні додаткові приклади допомоги щодо пов’язаних проблем?

• Опрацьовані приклади задач : переглядайте різні типи задач з хімії.
• Приклад щільності. Потренуйтеся обчислювати щільність.
• Маса рідин із густини. Приклад завдання : використовуйте густину, щоб розв’язати масу рідини.