Прямокутний паралелепіпед. Формули та властивості прямокутного паралелепіпеда

Основні властивості правильного прямокутного паралелепіпеда

Об’єм прямокутного паралелепіпеда

Площа поверхні прямокутного паралелепіпеда

Означення. Поверхня прямокутного паралелепіпеда складається з суми площ прямокутників, що обмежують його.

S = 2 a · b + 2 a · c + 2 b · c

Діагональ прямокутного паралелепіпеда

Означення. Діагональ прямокутного паралелепіпеда – це відрізок, який з’єднує дві не сусідні вершини, що лежать на різних гранях.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Розділ 4. Квадрат і куб числа. Площі та об’єми фігур

Подивіться на малюнок 138. Ви бачите різноманітні предмети, які використовують у побуті. Усі вони мають одну й ту саму форму — прямокутного паралелепіпеда (мал. 139).

Прямокутний паралелепіпед є просторовою фігурою. Він має три виміри — довжину, ширину і висоту. Це — довжини трьох ребер паралелепіпеда, що сходяться в одній вершині (мал. 141). Поверхню паралелепіпеда утворюють 6 прямокутників, які називають гранями.

Коротко говорять: прямокутний паралелепіпед із ребрами а, b і с.

У прямокутного паралелепіпеда з ребрами а, b і с (мал. 140):

• 8 вершин. 12 ребер і 6 граней;

• 4 ребра завдовжки а, 4 ребра завдовжки b і 4 ребра завдовжки с;

• протилежні грані — попарно рівні прямокутники зі сторонами а і b, b і с та а і с.

Із початкової школи ви знаєте особливий вид прямокутного паралелепіпеда — куб (мал. 142).

У нього всі ребра мають однакову довжину, а поверхню утворюють 6 квадратів.

Коротко говорять: куб із ребром а.

Чи кожен прямокутний паралелепіпед є кубом? Ні, оскільки існують прямокутні паралелепіпеди, в яких ребра не дорівнюють одне одному. Наприклад, прямокутний паралелепіпед на малюнку 141.

• 8 вершин, 12 ребер і б граней;

• усі ребра — рівні відрізки завдовжки а;

• усі грані — рівні квадрати зі стороною а.

3. Об’єм прямокутного паралелепіпеда

Уявіть кімнату з шафою і тумбочкою. Кожен предмет займає певну частину простору кімнати і ми можемо порівняти, який з них займає більше місця, а який — менше. Математики сказали б, що ми порівнюємо предмети за об’ємом, який вони займають у кімнаті.

Одиницею вимірювання об’єму вважають об’єм куба, ребро якого дорівнює одиниці довжини. Такий куб називають одиничним кубом. У таблиці 19 ви бачите одиниці довжини і відповідні їм одиниці об’єму, якими ми користуємося.

Запис 1 см 3 читають так: «один кубічний сантиметр».

Визначити об’єм прямокутного паралелепіпеда означає з’ясувати, скільки одиничних кубів у ньому вміщується (мал. 143). На малюнку 144 ви бачите, що в прямокутному паралелепіпеді з ребрами З см, 4 см і 5 см уміщується 60 одиничних кубів з об’ємом 1 см 3 . Це означає, що об’єм цього паралелепіпеда дорівнює 60 см 3 .

Коротко записують: V = 60 см 3 . Буквою V заміняють слово «об’єм».

Об’єм прямокутного паралелепіпеда з ребрами a, b і с дорівнює добутку цих ребер.

Чи можна за формулою об’єму прямокутного паралелепіпеда обчислити об’єм куба? Так, оскільки куб — це прямокутний паралелепіпед, у якого всі ребра рівні (мал. 145). Якщо ребро куба дорівнює а, то його об’єм становить а ∙ а ∙ а = а 3 . Отже, одержали формулу об’єму куба.

Об’єм куба з ребром а дорівнює кубу його ребра.

Скориставшись формулою об’єму куба, одержимо зв’язок між одиницями вимірювання об’єму:

1м 3 = 1000 дм 3 = 1 000 000 см 3 = 1 000 000 000 мм 3 .

Подивіться на малюнок 146. Ви бачите головоломку Рубіка й об’ємний пазл. Ці предмети мають особливу форму — піраміди. Головоломка Рубіка є прикладом трикутної піраміди (мал. 147), а об’ємний пазл — чотирикутної піраміди (мал. 148).

На відміну від прямокутного паралелепіпеда і куба, кількість вершин, ребер і граней не є однаковою для всіх пірамід, а залежить від того, якого виду піраміда. Про інші види пірамід і їх властивості ви дізнаєтесь у старшій школі.

1. Єгипетські піраміди — архітектурні пам’ятки Стародавнього Єгипту, серед яких одне із Семи чудес світу — піраміда Хеопса (мал. 149). Піраміди будувалися як гробниці для фараонів Стародавнього Єгипту.

2. Цікаво, що піраміди-усипальниці є і в Україні, на Полтавщині. Вони були збудовані під враженням від побачених піраміду Єгипті. На малюнку 20.17 зображено одну з таких пірамід, яка знаходиться в Березовій Рудці. її вік — більше ста років (1898-1899 рр.). Висота піраміди — 9 м.

3. Основною одиницею вимірювання об’ємів вважають кубічний дециметр. Для вимірювання об’єму рідини найчастіше використовують таку одиницю, як літр: 1 л = 1 дм 3 . Цікаво, що маса 1 л води становить 1 кг.

Прослухайте в Інтернеті, як вимовляються ці слова.

1. Наведіть приклад із довкілля прямокутного паралелепіпеда; куба.

2. Що таке виміри прямокутного паралелепіпеда?

3. Яку форму мають грані куба?

5. Якими одиницями вимірюють об’єм?

6. Яка формула об’єму прямокутного паралелепіпеда?

7. Запишіть формулу об’єму куба.

8. Наведіть приклад піраміди, що зустрічається в довкіллі.

631’. Дано прямокутний паралелепіпед (мал, 150 Скільки уданого паралелепіпеда:

2) ребер, що сходяться в одній вершині?

632’. Чи правильно, що грань прямокутного паралелепіпеда є:

633′. Дано куб (мал. 151). Скільки у даного куба:

2) ребер, що сходяться в одній вершині?

634′. Чи правильно, що грань куба є:

635*. Чи правильно, що об’єм прямокутного паралелепіпеда з вимірами m, n і р можна знайти за формулою:

636′. Чи правильно, що об’єм куба з ребром m дорівнює:

637’. Наведіть приклад предметів із довкілля, які мають форму піраміди:

638°. На малюнку 152 зображено прямокутний паралелепіпед. З’ясуйте:

1) які виміри паралелепіпеда;

2) скільки ребер має паралелепіпед завдовжки З см; 4 см; б см;

3) яка сума довжин усіх ребер паралелепіпеда?

639°. На малюнку 153 зображено прямокутний паралелепіпед. З’ясуйте:

1) які виміри паралелепіпеда;

2) скільки ребер має паралелепіпед завдовжки 5 см; 6 см; 8 см;

3) яка сума довжин усіх ребер паралелепіпеда?

640°. Відомо, що сума довжини, ширини і висоти прямокутного паралелепіпеда дорівнює 60 см. Знайдіть висоту, якщо ширина паралелепіпеда дорівнює 12 см, а довжина — 25 см.

641°. У прямокутного паралелепіпеда виміри m, n і р. За даними таблиці 20 знайдіть невідомі величини.

642°. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 7 см, ширина — у 2 рази більша за висоту, довжина — на 10 см більша за ширину. Знайдіть ширину і довжину прямокутного паралелепіпеда.

643°. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 12 см, ширина — у 3 рази більша за висоту, довжина — у 2 рази більша за ширину. Знайдіть ширину і довжину прямокутного паралелепіпеда.

644′. На малюнку 154 зображено куб. З’ясуйте:

1) яка висота куба; ширина; довжина;

2) скільки у куба ребер завдовжки 10 см;

3) яка сума довжин усіх ребер куба;

4) які площі мають грані куба?

645°. На малюнку 155 зображено куб. З’ясуйте:

1) яка висота куба; ширина; довжина;

2) скільки у куба ребер завдовжки 7 см;

3) яка сума довжин усіх ребер куба;

4) які площі мають грані куба?

646°. Довжина ребра куба дорівнює 5 см. Знайдіть:

1) периметр однієї грані куба;

2) площу однієї грані куба.

647°. Периметр однієї грані куба дорівнює 64 см, Знайдіть довжину ребра куба.

648°. Довжина ребра куба дорівнює а. Запишіть формулу для знаходження суми довжин усіх ребер куба.

649°. Довжина ребра куба дорівнює а. Запишіть формулу для знаходження суми площ усіх граней куба.

650°. У прямокутного паралелепіпеда виміри n, m і р. За даними таблиці 21 знайдіть невідомі величини.

651°. Прямокутний паралелепіпед має виміри 10 см, 2 см, 2 см. Знайдіть об’єм паралелепіпеда.

652°. Об’єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює 124 см 3 . Чи можуть ребра прямокутного паралелепіпеда дорівнювати:

653°. Скільки кубів із ребром 1 см уміщує прямокутний паралелепіпед із ребрами:

654°. Знайдіть висоту прямокутного паралелепіпеда, якщо його об’єм дорівнює 1000 см 3 , а ширина і довжина дорівнюють 125 см і 8 см.

655°. Знайдіть довжину прямокутного паралелепіпеда, якщо його об’єм дорівнює 720 см 3 , а ширина і висота дорівнюють 15 см і 24 см.

656°. Висота прямокутного паралелепіпеда дорівнює 12 см, ширина — у 3 рази менша від висоти, а довжина — на 13 см більша за висоту. Знайдіть об’єм паралелепіпеда.

657°. Ширина прямокутного паралелепіпеда дорівнює 10 см, довжина — у 2 рази більша за ширину, а висота — на 15 см більша за ширину. Знайдіть об’єм паралелепіпеда.

658°. Ребро куба дорівнює а см. Обчисліть об’єм куба, якщо:

659°. Знайдіть об’єм куба, ребро якого дорівнює:

660°. У скільки разів об’єм куба з ребром 2 см більший за об’єм куба з ребром 1 см?

661°. На скільки об’єм куба з ребром 12 см більший за об’єм куба з ребром 5 см?

664°. Виразіть у кубічних метрах:

665°. Виразіть у кубічних сантиметрах:

666°. Дано піраміду (мал. 156). За малюнком з’ясуйте:

1) скільки всього вершин, ребер, граней у піраміди;

2) форму якої фігури мають грані піраміди?

667°. Дано піраміду (мал. 157). За малюнком з’ясуйте:

1) скільки всього вершин, ребер, граней у піраміди;

2) форму якої фігури мають грані піраміди?

668. Знайдіть площі усіх граней прямокутного паралелепіпеда з вимірами 12 см, 5 см, 3 см,

669 Знайдіть площі усіх граней прямокутного паралелепіпеда з вимірами 9 см, 10 см, 4 см.

670. Сума довжин двох ребер куба дорівнює 18 см, Знайдіть суму:

671. Довжина ребра куба дорівнює 8 см. Знайдіть суму:

672. Сума довжин усіх ребер куба дорівнює 60 см. Довжина ребра іншого куба удвічі більша. Знайдіть довжину ребра другого куба.

673. Сума довжин усіх ребер куба дорівнює 36 см. Довжина ребра іншого куба утричі більша. Знайдіть довжину ребра другого куба.

674. Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда, ребра якого дорівнюють 2 см, 5 м і 10 дм.

675. Довжина прямокутного паралелепіпеда у 2 рази більша за висоту, а ширина — на 10 см більша за висоту. Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо сума його довжини, ширини і висоти дорівнює 50 см.

676. Довжина прямокутного паралелепіпеда на 8 см більша за висоту, а ширина — на 2 см більша за висоту. Знайдіть об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо сума його довжини, ширини і висоти дорівнює 40 см.

677. Знайдіть об’єм куба, якщо сума довжин усіх його ребер дорівнює:

678. Знайдіть об’єм куба, якщо периметр однієї його грані дорівнює:

679. Скільки км 3 одержали, якщо 10 м 3 п’ять разів помножили на 100?

680. Запишіть 100 м 3 2 дм 3 15 см 3 :

681. Сума довжин ребер прямокутного паралелепіпеда дорівнює 64 м. Знайдіть довжини його ребер, якщо у нього один із вимірів на 3 см більший за другий і на 20 см менший від третього.

682. Обчисліть суму площ усіх граней куба, якщо сума довжин ребер однієї грані дорівнює 20 см.

683. Обчисліть суму площ усіх граней куба, якщо сума довжин усіх його ребер дорівнює 144 см.

684. У чотирикутної піраміди всі її ребра рівні, кожне з них дорівнює 5 см. Обчисліть суму довжин усіх ребер піраміди.

685. У трикутної піраміди всі її ребра рівні, кожне з них дорівнює 8 см. Обчисліть суму довжин усіх ребер піраміди.

686. У чотирикутної піраміди всі її ребра рівні, а їх сума дорівнює 32 см. Знайдіть довжину ребра піраміди.

687. У трикутної піраміди всі її ребра рівні, а їх сума дорівнює 42 см. Знайдіть довжину ребра піраміди.

688*. Периметри двох граней прямокутного паралелепіпеда дорівнюють 34 см і 26 см, довжина їх спільного ребра дорівнює 9 см. Обчисліть довжини інших ребер прямокутного паралелепіпеда.

689*. Прямокутний паралелепіпед має виміри 2 см, 8 см і 3 см. Його розрізали на кубики з ребром 1 см і розмістили в один ряд, поставивши їх один до одного. Якої довжини одержали ряд? Застосуйте на практиці.

690. Наведіть приклади предметів довкілля, які мають форму:

1) прямокутного паралелепіпеда;

691. Скільки треба метрів дроту, щоб виготовити каркас прямокутного паралелепіпеда з розмірами 5 м, 6 м і 8 м (витрати на з’єднання не враховувати)?

692. На конкурс шоколаду кондитерська фабрика виготовила дві великі плитки шоколаду. Перша плитка була зроблена із чорного шоколаду і мала розміри 150 см х 65 см х 70 см. Друга плитка була зроблена із білого шоколаду і мала розміри 250 см х 50 см х 120 см. На скільки відрізняються об’єми даних шоколадних плиток?

Використовуючи сайт ви погоджуєтесь з правилами користування

Віртуальна читальня освітніх матеріалів для студентів, вчителів, учнів та батьків.

Наш сайт не претендує на авторство розміщених матеріалів. Ми тільки конвертуємо у зручний формат матеріали з мережі Інтернет які знаходяться у відкритому доступі та надіслані нашими відвідувачами.

Якщо ви являєтесь володарем авторського права на будь-який розміщений у нас матеріал і маєте намір видалити його зверніться для узгодження до адміністратора сайту.

Ми приєднуємось до закону про авторське право в цифрову епоху DMCA прийнятим за основу взаємовідносин в площині вирішення питань авторських прав в мережі Інтернет. Тому підтримуємо загальновживаний механізм “повідомлення-видалення” для об’єктів авторського права і завжди йдемо на зустріч правовласникам.

Копіюючи матеріали во повинні узгодити можливість їх використання з авторами. Наш сайт не несе відподвідальність за копіювання матеріалів нашими користувачами.

Прямокутник. Формули та властивості прямокутника

Прямокутники відрізняються між собою тільки співвідношенням довгої сторони до короткої, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90 градусів.

Довшу сторону прямокутника називають довжиною прямокутника, а коротшу – шириною прямокутника.

Сторони прямокутника одночасно є його висотами.

Основні властивості прямокутника

8. Кожна діагональ прямокутника ділить прямокутник на дві однакові фігури, а саме на прямокутні трикутники.

9. Діагоналі прямокутника перетинаються і в точці перетину діляться навпіл:

∠ABC + ∠CDA = 180° ∠BCD + ∠DAB = 180°

13. В прямокутник, у якого довжина не дорівнює ширині, не можна вписати коло, бо суми протилежних сторін не рівні між собою (вписати коло можно тільки в частинний випадок прямокутника – квадрат).

Сторони прямокутника (довжина і ширина прямокутника)

Довжиною прямокутника називають довжину довшої пари його сторін. Шириною прямокутника називають довжину коротшої пари його сторін.

Формули визначення довжин сторін прямокутника

Діагональ прямокутника

Діагоналлю прямокутника називається будь-який відрізок, який сполучає дві вершини протилежних кутів прямокутника.

Формули визначення довжини діагоналі прямокутника

6. формула діагоналі прямокутника через синус кута, прилеглого до діагоналі, та протилежної сторони цього кута:

7. Формула діагоналі прямокутника через косинус кута, прилеглого до діагоналі, та прилеглої сторони до цього кута:

Периметр прямокутника

Формули визначення довжини периметру прямокутника

P = 2( a + √ d 2 – a 2 ) = 2( b + √ d 2 – b 2 )

P = 2( a + √ 4R 2 – a 2 ) = 2( b + √ 4R 2 – b 2 )

P = 2( a + √ D_o 2 – a 2 ) = 2( b + √ D_o 2 – b 2 )

Площа прямокутника

Площею прямокутника називається простір який обмежений сторонами прямокутника, тобто в межах периметру прямокутника.

Формули визначення площі прямокутника

S = a √ d 2 – a 2 = b √ d 2 – b 2

S = a √ 4R 2 – a 2 = b √ 4R 2 – b 2

S = a √ D_o 2 – a 2 = b √ D_o 2 – b 2

Коло, описане навколо прямокутника

Колом, описаним навколо прямокутника, називається коло, яке проходить тільки через чотири вершини кутів прямокутника і має центр на перетині діагоналей прямокутника.

Формули визначення радіуса кола, описаного навколо прямокутника

2. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через периметр квадрата та будь-яку сторону:

6. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через синус кута, прилеглого до діагоналі, та протилежної сторони цього кута:

7. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через косинус кута, прилеглого до діагоналі, та прилеглої сторони цього кута:

8. Формула радіуса кола, описаного навколо прямокутника, через синус гострого кута між діагоналями та площею прямокутника:

Кут між стороною та діагоналлю прямокутника

Формули визначення кута між стороною та діагоналлю прямокутника

Кут між діагоналями прямокутника

Формули визначення кута між діагоналями прямокутника

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]