Коли матриці дорівнюють
Запрошуємо усіх хто любить цікаві задачі та головоломки відвідати групу! Зараз діє акція – підтримай студента! Знижки на роботи + безкоштовні консультації.
Контакти
Адміністратор,
розв’язування задач
Роман
Tel. +380685083397
[email protected]
skype,facebook:
roman.yukhym
Розв’язування задач
Андрій
facebook:
dniprovets25
Коли матриці дорівнюють
Розглянемо систему рівнянь, яка має n – рядків і n – невідомих: [TEX][/TEX]
Така система має числову характеристику, яка називається визначником (або детермінантом: det):
Даний визначник має порядок n.
Означення. Визначник – числова характеристика матриці.
Означення. Мінором визначника Δ порядку n називається визначник (n-1) порядку, який отримуємо в результаті викреслювання з визначника Δ і – того рядка і к – того стовпця. Позначають [TEX]>[/TEX].
Означення. Алгебраїчним доповненням елемента [TEX]>[/TEX] називається величина [TEX] <\left( < - 1>\right)^>>[/TEX]: [TEX]> = <\left( < - 1>\right)^>>[/TEX].
Теорема. Значення визначника [TEX]\triangle _ [/TEX] дорівнює сумі добутків елементів якого – небудь стовпця (або рядка) на їх алгебраїчні доповнення [TEX]\triangle _=\sum_^a_A_= \sum_^a_A_[/TEX]
Наприклад, [TEX] = > \cdot > + > \cdot > + > \cdot > + . + > \cdot >[/TEX] (розклад за елементами другого стовпця).
Приклад. Обчислимо визначник другого порядку:
Примітка. Якщо елементами визначника є деякі функції, то заданий визначник теж буде функція (або число):
[TEX]\begincos\alpha & sin\alpha \\sin\alpha & cos\alpha \end=cos^ \alpha -sin^\alpha =cos2\alpha . [/TEX]
Основні властивості визначників
1. Значення визначника не зміниться, якщо його рядки замінити відповідними стовпцями.
2. Якщо поміняти місцями два відповідних рядка визначника, то результат змінить знак на протилежний.
3. Визначник з двома однаковими рядками (стовпцями) дорівнює нулю.
4. Якщо елементи деякого рядка (стовпця) мають спільний множник, то його можна виносити за знак визначника. З іншого боку, якщо елементи якого-небудь рядка помножити на число [TEX]\lambda [/TEX], то визначник [TEX]\triangle _ [/TEX] множиться на це ж число [TEX]\lambda [/TEX].
5. Якщо всі елементи деякого рядка (стовпця) дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
6. Визначник, у якого елементи двох паралельних рядів пропорційні, дорівнює нулю.
7. Визначник не зміниться, якщо до елементів якого – небудь стовпця (рядка) додати відповідні елементи іншого стовпця (рядка) помножені на одне і те ж число: [TEX]\triangle =\begina_ &a_&a_ \\ a_ &a_&a_ \\a_ &a_&a_ \\\end[/TEX], [TEX]\triangle ^ <\prime >=\begina_+ma_ &a_&a_ \\ a_+ma_ &a_&a_ \\a_+ma_ &a_&a_ \\\end[/TEX]
8. Якщо кожний елемент якого – небудь стовпця є сумою двох доданків, то визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких стовпцями є відповідні доданки, а решта збігається з стовпцями заданого визначника: [TEX]\begina_^\prime +a_^” & a_ \\a_^\prime +a_^” & a_ \end=\begina_^\prime & a_ \\a_^\prime & a_ \end+\begina_^”&a_ \\a_^” & a_ \end[/TEX]
9. Сума добутків елементів якого-небудь ряду визначника і алгебраічних доповнень, що відповідають елементам другого паралельного ряду рівна нулю, тобто справедливі рівності: [TEX]\sum_^a_A_=0, [/TEX] [TEX]\sum_^a_A_=0 [/TEX] [TEX](i\neq j).[/TEX]
Методи обчислення визначників
1. Визначники 3-го – порядку обчислюються за правилом Саррюса (правило трикутників).
Приклад. [TEX]\triangle _=\begin1&2&-3\\4&6&5\\2&-1&1 \end=1\cdot 6\cdot 1+2\cdot 5\cdot 2+4\cdot (-1)\cdot (-3)-((-3)\cdot 6\cdot 2+2\cdot 4\cdot 1+5\cdot (-1)\cdot 1)=71 [/TEX]
2. Обчислення визначників (третього та вищих порядків) розкладанням за елементами і – рядка або j – стовпця.
Теорема. визначник дорівнює сумі добутків елементів якого – небудь рядка (стовпця)на їх алгебраїчні доповнення, тобто [TEX]\Delta = \sum\limits_<> >>> [/TEX] або [TEX]\Delta = \sum\limits_<> >>> [/TEX]
Розкладання визначника 4 – го порядку за елементами 2 – го рядка:
2. Обчислення визначників методом ефективного зниження порядку.
Використовуючи основні властивості визначників, обчислення визначника [TEX] \ne 0[/TEX] завжди можна звести до обчислення визначника (n-1)-го порядку, зробивши в якому – небудь рядку (стовпці) всі елементи рівні нулю, крім одного.
Приклад. [TEX]\triangle = \begin2 &4&-1 &2\\-1&2&3&1\\2&5&1&4\\1&2&0&3 \\\end=[/TEX]
1) зробимо нулі в третьому стовпці: для цього елементи першого і четвертого рядка залишаємо без зміни; елементи першого рядка множимо на 3 і додаємо до відповідних елементів другого рядка і записуємо в другому рядку; відповідні елементи першого і третього рядків додаємо і записуємо в третьому рядку
2) зробимо нулі в третьому рядку: для цього елементи першого стовпця залишаємо без зміни; елементи першого стовпця множимо на 2 і додаємо до відповідних елементів другого стовпця і записуємо в другому стовпці; елементи першого стовпця множимо на -3 і додаємо до відповідних елементів третього стовпця і записуємо в третьому стовпці
3. Метод зведення визначника до трикутного вигляду.
Використовуючи основні властивості визначників, обчислення визначника [TEX] \ne 0[/TEX] зводимо визначник до трикутного вигляду, тоді значення визначника дорівнює добутку його діагональних елементів.
Поміняємо місцями перший та другий стовпці
[TEX]=-\begin1 & 0&2&-4 \\0&1&1 & -3\\0&0&1&7\\0&0&-7&15 \end=-\begin1 & 0&2&-4 \\0&1&1 & -3\\0&0&1&7\\0&0&0&64 \end=(-1)\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 64=-64[/TEX]7
Матриці
В техніці дуже часто зустрічаються випадки, коли треба розв’язати систему рівнянь, яка містить 1000 і більше невідомих. Зараз це здійснюється за допомогою комп’ютерної техніки, в основі якої лежать стандартні методи розв’язання цих систем рівнянь.
В загальному вигляді система рівнянь записується так:
де [TEX]n[/TEX]- невідомих, [TEX]m[/TEX] – рівнянь, [TEX];\,;\,. [/TEX] – невідомі, [TEX]>;\,\,>;\,\,>. [/TEX] – коефіцієнти при невідомих, [TEX];\,;\,\,. [/TEX] – вільні члени.
Запишемо таблицю, складену з коефіцієнтів при невідомих^ [TEX]A=\begina_ &a_&. &a_ \\a_ &a_&. &a_ \\. &. &. &. \\a_ &a_&. &a_ \\\end [/TEX]
Означення. Прямокутна таблиця, складена з елементів [TEX]>\,\,\,\left( \,;\,\,\,\,j = \overline \,\,\,> \right)[/TEX] деякої множини називається матрицею.
Елементи матриці нумеруються двома індексами: перший і – означає номер рядка, другий [TEX]j[/TEX] – означає номер стовпця. Матриця має розмір [TEX]m \times n[/TEX]([TEX]m[/TEX] – рядків, [TEX]n[/TEX] – стовпців).
Матриця називається числовою, якщо її елементи [TEX]>[/TEX]- числа, функціональною, якщо її елементи [TEX]>[/TEX] – функції, векторною, якщо її елементи [TEX]>[/TEX] – вектори і т.д.
Означення. Дві матриці А і В називаються рівними, якщо [TEX]> = >[/TEX](відповідні елементи рівні).
Рівними можуть бути тільки матриці однакової розмірності.
Означення. Матриця, у якої [TEX]n = m[/TEX] називається квадратною : [TEX]A=\begina_ &a_&a_ \\a_ &a_&a_ \\a_ &a_&a_ \\\end [/TEX]
Якщо m=1, то матриця називається матрицею – рядком : [TEX]A=\begina_ &a_&. &a_ \\\end [/TEX]
Якщо n=1, то матриця називається матрицею – стовпцем: [TEX]A=\begina_ \\a_ \\. \\a_ \\\end [/TEX]
Означення. Квадратні матриці, у яких відмінні від нуля тільки елементи головної діагоналі, називаються діагональними: [TEX]A=\begina_ &0&0 \\0&a_ &0 \\0 &0&a_ \\\end [/TEX]
Означення. Якщо всі елементи головної діагоналі діагональної матриці рівні між собою, то така матриця називається скалярною : [TEX]A=\begina &0&0 \\0&a&0 \\0 &0&a \\\end[/TEX]
Означення Якщо елементи діагональної матриці дорівнюють одиниці, то така матриця називається одиничною :[TEX]Е=\begin1 &0&0 \\0&1&0 \\0 &0&1 \\\end[/TEX]
Означення. Матриця називається трикутною , якщо всі елементи розміщені вище (або нижче) головної діагоналі дорівнюють нулю: [TEX]A=\begina_ &a_&a_ \\0 &a_&a_ \\0 &0&a_ \\\end[/TEX]
Дії над матрицями
Додавання матриць
Означення. Сумою двох матриць А і В називається матриця С, елементи якої дорівнюють сумі відповідних елементів матриць А і В: [TEX]> = > + >[/TEX]
Примітка. Сума матриць визначена тільки для матриць однакової розмірності.
Віднімання матриць
Означення. Різницею двох матриць А і В називається матриця С, елементи якої дорівнюють різниці відповідних елементів матриць А і В:
Примітка. Різниця матриць визначена тільки для матриць однакової розмірності.
Множення матриці на число
Означення. Добутком матриці А на число λ називається матриця С, елементи якої дорівнюють добутку відповідних елементів матриці А на число λ: [TEX]> = \lambda \cdot >[/TEX]
Множення матриць
Означення. Матриця А називається узгодженою з матрицею В, якщо кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.
Означення. Добутком матриць [TEX]>[/TEX] і [TEX]>[/TEX] називається матриця [TEX]>[/TEX], у якої елемент [TEX]>[/TEX] дорівнює сумі добутків елементів і – того рядка матриці А на відповідні елементи [TEX]j[/TEX] – того стовпця матриці В.
[TEX]>[/TEX]- означає, що елементи першого рядка матриці А перемножаються на відповідні елементи другого стовпця матриці В.
Обернена матриця
Означення. Квадратна матриця А називається невиродженою , якщо її визначник не дорівнює нулю: [TEX]\Delta \ne 0\,\,\,\,\,\left( \right)[/TEX]. Якщо [TEX]\Delta = 0\,\,\,\,\,\left( \right)[/TEX], то матриця називається виродженою.
Примітка. Тільки для невироджених матриць вводиться поняття оберненої матриці.
Означення. Нехай А – квадратна матриця. Матриця [TEX]>[/TEX]називається оберненою до матриці А, якщо [TEX]A \cdot > = > \cdot A = E[/TEX]
де [TEX]>[/TEX] – алгебраїчні доповнення елементів [TEX]>[/TEX] визначника матриці А.
Aij=(-1) n Mij , де Mij – мінор елемента aij .
Приклад. Знайти матрицю[TEX]>[/TEX] , обернену до матриці А, якщо [TEX]A=\begin-1&0&2\\2&3&2\\3&7&1\end [/TEX]
1) [TEX]\triangle =\begin-1 & 0&2 \\2 & 3 &2\\3&7&1\end=-3+28+0-(18+0-14)=21\neq 0\Rightarrow [/TEX] матриця А невироджена, значить для неї існує обернена матриця [TEX]>[/TEX]
3) Запишемо обернену матрицю [TEX]A^=\frac\cdot \begin-11&14&-6\\4&-7&6\\5&7&-3\end [/TEX]
Ранг матриці
Нехай маємо матрицю розміром [TEX]m\times n[/TEX], елементами якої є числа. Вилучаючи з цієї матриці певну кількість рядків і стовпців, можна скласти визначники, які можуть як дорівнювати нулю, так і не дорівнювати нулю. Найбільший порядок таких визначників – це мінімальне з чисел m і n.
Означення. Рангом матриці називається найбільший порядок мінора відмінного від нуля .
Приклад. [TEX]A=\begin1&2&3\\3&6&9\end [/TEX].
З даної матриці можна скласти три визначники другого порядку і шість визначників першого порядку:
[TEX]\triangle _=\begin1 & 2 \\3 & 6 \end=0 [/TEX], [TEX]\triangle _=\begin1 & 3 \\3 &9 \end=0 [/TEX] , [TEX]\triangle _=\begin2 & 3 \\6 & 9 \end=0 [/TEX] , [TEX]\triangle _=\begin1 \end=1[/TEX] , [TEX]\triangle _=\begin2 \end=2[/TEX], [TEX]\triangle _=\begin3 \end=3[/TEX], [TEX]\triangle _=\begin3 \end=3[/TEX], [TEX]\triangle _=\begin6 \end=6[/TEX] , [TEX]\triangle _=\begin9 \end=9[/TEX] .
Всі визначники другого порядку дорівнюють нулю, а жоден з визначників першого порядку не дорівнює нулю. Тому rang=1.
Такий метод знаходження рангу називається методом обвідних мінорів.
Ранг матриці не зміниться, якщо зробити з матрицею ряд елементарних перетворень:
- переставити місцями два рядки (стовпці);
- помножити кожен елемент рядка (стовпця) на один і той самий, відмінний від нуля множник;
- додати до елементів рядка (стовпця) відповідні елементи іншого рядка (стовпця), помножені на одне і те саме число.
Розглянемо інші методи знаходження рангу матриці:
Метод елементарних перетворень
1) зробимо з матрицею ряд елементарних перетворень таким чином, щоб кожен її рядок (стовпчик) скаладався з усих нулів або однієї одиниці і нулів;
2) число відмінних від нуля рядків і буде рангом заданої матриці.
Приклад. Обчислити ранг матриці [TEX]А=\begin1&1&2&3&-1\\2&-1&0&-4&-5\\-1&-1&0&-3&-2\\6&3&4&8&-3\end:[/TEX]
Для обчислення рангу матриці зробимо ряд елементарних перетворень
Таким чином, [TEX]rang (A)=3[/TEX]