Матриці: означення та основні поняття.

Матрицею розміру n×m називається прямокутна таблиця спеціального вигляду, що складається із n рядків та m стовпців, заповнених числами.

Кількість рядків та стовпців задають розміри матриці.

Позначення

Матриця – це таблиця даних, яка береться в круглі дужки:

Матрицю зазвичай позначають великими літерами латинського алфавіту. Матриця, що містить n рядків та m стовпців, називається матрицею розміру n×m . При необхідності розмір матриці записують наступним чином: A _n×m .

Елементи матриці

Елементи матриці A позначають a_ij , де i – номер рядка, в якому знаходяться елементи матриці, j – номер стовпця.

Рядок матриці називається нульовим, якщо всі її елементи рівні нулю.
Якщо хоча б один із елементів рядка матриці не рівний нулю, то рядок називається ненульовим.

Демонстрація нульових та ненульових рядків матриці:

Стовпчик матриці називається нульовим, якщо всі його елементи рівні нулю.
Якщо хоча б один із елементів стовпця матриці не рівний нулю, то стовпчик називається ненульовим.

Демонстрація нульових та ненульових стовпців матриці:

не не нульовий стовпчик

Діагональ та слід матриці

Головною діагоналлю матриці називається діагональ, проведена із лівого верхнього кута матриці в правий нижній кут.

Побічною діагональю матриці називається діагональ, проведена із лівого нижнього кута матриці в правий верхній кут.

Демонстрація головної та побічної діагоналі матриці:

Слідом матриці називається сума діагональних елементів матриці.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

© 2011-2024 Довжик Михайло
Копіювання матеріалів з сайту заборонено.

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Використання математики у повсякденному житті

Ні, ми не говоримо зараз про дроби чи заповнення робочих паперів, але математика у вигляді логіки та розв’язання інших задач постійно з’являється поза шкільним класом. Математика проявляється у більшості сфер нашого повсякденного життя, більше, ніж багато хто думає. Це дозволяє нам краще зрозуміти світ навколо нас.

Використання чисел і цифр можна знайти скрізь – від кулінарії і ліків до засобів масової інформації з їхніми відсотками та графіками. Зараз ми спробуємо пролити світло на ряд областей, де математика займає центральне місце.

Наше розуміння математики та постійне бажання знати більше про про цей світ створили сьогодення, яке просто неможливо уявити без математики.

Математика – фундаментальна наука, що сприяє методичній та систематичній поведінці.

Саме математика, наприклад, навела порядок у громадах по всій планеті та запобігла хаосу та катастрофам. Багато з наших успадкованих людських якостей виховуються і розвиваються математичними теоріями, як-от наше просторове усвідомлення та мислення, наші навички розв’язувати проблеми, наша здатність міркувати (що включає продумане мислення) і навіть наша творчість та спілкування.

Чому математика важлива?

Навіть речі, про які б ви і не подумали, насправді зводяться в основі своїй до математики та структури, яку вона привносить у наше повсякденне життя.

Візьмемо, наприклад, шопінг, приготування їжі, купівлю нерухомості, майстрування, подорожі, азартні ігри, відеоігри, водіння та визначення часу. ніщо з цього не було б можливим без існування математики.

Крім того, математика скрізь, якщо розглядати освітній та професійний світ.

Математика має відношення до широкого спектру академічних предметів, що входять до переліку ЗНО та навчальних програм коледжів, училищ та університетів, що не тільки означає, що погане розуміння математики може спричинити труднощі студентів та учнів з багатьох предметів, але також може обмежити їхні можливості подальшого навчання і працевлаштування, коли вони почнуть будувати кар’єру в майбутньому.

Незалежно від того, чи прагнете ви вивчати соціологію, психологію, фізику, біологію або ж економіку, математика важить багато, саме тому в рамках навчальної програми вам задаватимуть розв’язувати різні математичні задачі.

Вивчати математику – це відкривати світ можливостей – тепер ви розумієте важливість репетиторів з математики та вплив, який вони можуть мати на ваше життя!

Коротка історія математики

Оскільки математика – це широке застосування матерії, а не відкриття, ми не можемо приписувати винахід математики одній людині, однак що ми точно можемо зробити – це визначити, коли саме математика почала відігравати певну роль у житті людей.

Не дивно, що це було біля самих витоків людства, як свідчать докази! Навіть ті, хто жив у доісторичні часи, мали певне розуміння математичних концепцій, записи про які були знайдені на багатьох предметах, таких як кістки та настінні різьблення.

Історія стверджує, що перші люди використовували раціональне мислення, коли навчалися розв’язувати прості математичні задачі, такі як додавання, наприклад.

Кістці Ішанго близько 20 000 років, і на ній вирізано ряд виїмок у трьох стовпчиках. Візерунки-числа є свідченням того, що їх зробив хтось, хто розумів додавання, віднімання, множення, ділення та прості числа.

У своїй короткій історії математики веб-сайт The Star Garden додає:

Кеплер також був натхненний Піфагором і вважав, що рух планет створює музику. Він використав математику, щоб показати, що планети обертаються навколо Сонця по еліпсах, і до 1619 року зміг визначити час, за який кожна планета обертається навколо Сонця та їх відносні відстані до Сонця.

У 1687 році Ньютон опублікував свій закон всесвітнього тяжіння. Це було дуже по-новаторськи, оскільки показало не тільки те, що абстрактні математичні принципи, такі як нещодавно винайдене числення, можна застосувати до того, що ми спостерігаємо в природі, але й те, що закони, які відповідають за рух планет, також відповідають і за рух об’єктів тут, на Землі. Ньютон також вважав, що Всесвіт можна зрозуміти як математичний об’єкт, і описав Бога як «кваліфікованого в механіці та геометрії».

Якщо нашу природу можна перетворити на щось кількісне, а також математичне, тоді має сенс, що ми, як люди, діємо таким же механічним способом.

Професії, які витікають з математики

Якщо ви все ще сумніваєтеся в повсюдній і істотній ролі математики в професійному світі (і, отже, у нашому повсякденному житті), будьте готові змінити свою точку зору прямо зараз.

Настав час по-новому поглянути на математику – від дитячих рахувальниць до програмного кодування. Фото: Unsplash

Ця наука, успадкована з давнини, становить основу для багатьох професій.

Незалежно від того, чи ви працюєте над розробкою ліків, метеорологією, конструюєте медичні пристрої для візуалізації, використовуєте статистику, керуєте особистими даними за допомогою криптографії або в більш абстрактному світі чистої математики, використовується одна і та ж мова.

Арифметика, алгебра, комплексні числа та ймовірність — усе це елементи великої дисципліни, якою є математика. Вона направду формує наше повсякденне життя.

Наприклад, астрономи, які шукають життя на інших планетах, статисти, які використовують математичний аналіз для вивчення потоків населення, і бухгалтери, котрі вимірюють торговельні баланси фірм і країн – усі вони користуються спільною мовою, що базується на математиці, яку вони вивчали в університеті.

Хоча математика відкриває безліч захоплюючих і різнопланових можливостей для побудови кар’єри, найпоширенішими вакансіями для випускників, що вивчали математику, є:

• бухгалтер
• актуарій
• інвестиційний менеджер
• інвестиційний банкір
• торговий банкір
• статист
• дата-аналітик
• спеціаліст з аналізу та обробки даних
• науковий співробітник (математика)
• вчитель математики
• метеоролог
• комп’ютерний інженер

Якщо ви шукаєте кар’єру в галузі фінансів, то потрібен певний рівень математичної кваліфікації, але наукова ступінь не обов’язково.

Окрім фінансового сектору, є такі галузі, як інженерія та інформаційні технології, які можуть отримати користь від того, хто добре розбирається в цифрах.

Наприклад, такі ролі, як офіцер оборони та розвідки, статист, дослідник комп’ютерних операцій, академічний математик, учитель математики в початковій або середній школі або посади в законодавчій галузі, ЗМІ, бізнесі або державному секторі.

Деякі з типових роботодавців – це уряд, МОЗ, навчальні заклади, IT-компанії, фармацевтичні компанії, інженерні компанії, страхові компанії, маркетингові компанії, а також банківські та бухгалтерські фірми.

Приклад із реального життя: Первін Дадашова

Вона – випускниця НаУКМА, кандидат економічних наук, PhD у галузі фінансів, старший викладач кафедри фінансів Національного університету “Києво-Могилянська академія”, Начальник управління макропруденційної політики та досліджень Департаменту фінансової стабільності НБУ.

Дисертацію на тему “Системний аналіз та моделювання впливу взаємоузгодженості монетарної та фіскальної політики на макроекономічну стабільність” захистила у 2017 році.

На старших курсах університету я зрозуміла, що хотіла б і сама викладати. Щоби це зробити в Україні, потрібно паралельно будувати наукову кар’єру. Мене цікавили наукові пошуки, дослідження, економічне моделювання. Тому ці елементи скомбінувалися в подальшу роботу. Робота в НБУ потребує більше соціальних навичок, ніж суто наукова діяльність. Це досвід управління великою командою людей, з різними інтересами та навичками. Тепер, коли сама очолюю відділ, то обираю тих працівників, хто має ґрунтовні знання у сфері економіки, працює з базами даних, може швидко будувати логічні взаємозв’язки та робити висновки.

Оскільки подача заявок на роботу та досвід роботи може бути важким і займати дуже багато часу, жінка у своїх інтерв’ю рекомендує братися за створення резюме прямо зараз і навчатися, не покладаючи рук.

Зараз я спеціалістка з макропруденційної політики. У роботі я використовую наукові методи економічного моделювання та регресійного аналізу. Загалом це класичні методи і їх використовують всюди.

Наразі вона очолює відділ макропруденційної політики у Національному Банку України. Там перевіряє українські банки на здатність переживати кризові періоди і за будь-яких обставин повертати депозити вкладникам. Крім цього, Первін викладає у Національному університеті “Києво-Могилянська академія” і досліджує узгодженість монетарної і фіскальної політики.

Дізнайтеся більше про Первін, відвідавши її фейсбук-сторінку.

Ви також можете пошукати більше тематичних досліджень, які можуть допомогти вам на кар’єрному шляху.

Ви можете побачити, які вакансії є для ентузіастів математики, відвідавши веб-сайти з пошуку роботи.

Звісно ми навели підсумок лише деяких галузей та пов’язаних з ними посад, у яких ви могли б працювати, якщо будете вивчати математику як один з основних предметів.

Математика і дослідження світу

Від вивчення нашої Сонячної системи до репродуктивного циклу тварин і росту рослин – математика дуже корисна для розуміння навколишнього світу.

І так, математику можна використовувати навіть для розгадування головоломок!

Заняття з математики покращать ваші знання про нашу Сонячну систему. Фото: Unsplash

Не всі обчислення обов’язково є складними: ми можемо використовувати складні функції або послідовності так само легко, як і прості методи, наприклад, для позначення та стеження за індивідами під час вивчення популяцій та еволюції.

Інженери випробовують матеріали, щоб спроектувати міцні та безпечні конструкції, використовуючи розрахунки міцності та щільності матеріалів.

У картографії необхідно точно вимірювати кути та малювати відстані, які дозволять точно відображати місця. Такими знаннями користується не лише геодезист, а й скарбошукач, який знаходить затонулі уламки кораблів, використовуючи прилади, що еволюціонували від компаса.

Ціна на продукти харчування розраховується відповідно до виробництва та передбачуваного попиту. Прогнозований перебіг пандемії визначається шляхом вивчення швидкості передачі збудника. Знання з математики корисні для виконання домашнього завдання чи повторення іспиту з алгебри чи геометрії! Та й не тільки! Список застосувань нескінченний.

Якщо ви хочете досягти успіху в математиці, не зволікайте із записом на навчання до хорошого репетитора з математики.

Одним словом, все піддається впливу математики, хоч би і світ професійного спорту!

Чи можливо б було спроектовати знамениті піраміди Гізи без допомоги вчителя математики? Фото: Unsplash

Навіть коли справа доходить до езотерики, математика й тут прославилася! Багато вчених шукали прихований сенс у числах і передбачуваних властивостях за допомогою нумерології, не кажучи вже про таємничу “золоту пропорцію”, яку можна знайти в природі, а також у незвичайних конструкціях, що створили люди, як от піраміди.

Є також багато математичних рівнянь, які змінили світ!

Математика в житті людини: роль та всюдисющі знання

Ви коли-небудь замислювались про те, наскільки великий вплив математика має на наше повсякденне життя?

Ні, ми не говоримо про дроби або заповнення робочих зошитів, а про математику у формі логіки та вирішення проблем, які постійно з’являються поза навчанням. Математика є частиною нашого повсякденного життя, більше ніж багато хто думає, і дозволяє нам краще зрозуміти навколишній світ.

Використання цифр можна знайти скрізь, починаючи від кулінарії, закінчуючи медициною та засобами масової інформації. Тут ми пролиємо світло на низку сфер, де математика є провідною в житті людини.

Сьогоднішній світ, як ми знаємо, не був би можливим без математики.

Математика сприяє усім нашим методичним та систематичним поведінкам.

Математика в житті людини

Наприклад, саме математика наводить порядок у громадах на цій планеті та запобігає хаосу та катастрофам. Багато наших успадкованих людських якостей виховуються та розвиваються теоріями математики, як-от наше просторове усвідомлення, наші навички вирішення проблем, наша міркування (що включає продумане мислення) і навіть наша творчість та спілкування.

Чому математика в житті людини так важлива?

Людство потребує математику та структуру і порядок, які вона приносить у наше повсякденне життя.

Наприклад, візьміть здійснення покупок, приготування страв, купівлю нерухомості, чи ви щось робите своїми руками, подорожуйте, грайте в азартні ігри, грайте у відеоігри, повідомляєте час … нічого з цього було б неможливо без існування математики.

Крім того, математика скрізь, якщо враховувати освітній та професійний світ.

Погане розуміння математики може спричинити проблеми студентів з багатьох інших предметів, але також може обмежити можливості подальшого навчання як і можливість працевлаштування, коли вони замислюються про варіанти кар’єри.

Незалежно від того, чи прагнете Ви вивчати соціологію, психологію, фізику, біологію чи навіть економіку, математика високо оцінюється всюди, і Ви будете змушені вирішувати різні математичні завдання як частину Вашої роботи.

Чому математика в житті людини так важлива?

Вивчення математики означає відкриття світ можливостей!

Коротка історія математики

Ми можемо озирнутися назад, коли математика почала відігравати певну роль у житті людей.

Не дивно, що факти свідчать, що це був майже початок часу, як ми його знаємо! Навіть ті, хто жив у доісторичні часи, мали певне розуміння математичних концепцій, записи яких були знайдені на багатьох предметах, таких як кістки та настінні різьблення.

Вони використовували раціональне мислення, коли вчились розв’язувати прості математичні завдання, такі як складання речей.

“Кістці Ішанго близько 20 000 років і в ній висічено ряд насічок у три колонки. Шаблони в цих знаках можуть показувати, що їх зробив той, хто розумів додавання, віднімання, множення, ділення та прості числа”.

“Кеплер також був натхненний Піфагором і вважав, що рух планет створює музику. Він використовував математику, щоб показати, що планети обертаються навколо Сонця в еліпсах, і до 1619 р. Він зміг визначити час, який потрібно кожній планеті на орбіту та їх відносні відстані від Сонця.

У 1687 році Ньютон опублікував свій закон всесвітнього тяжіння. Це було новаторським, оскільки показало не лише те, що абстрактні математичні принципи, можуть бути застосовані до того, що ми спостерігаємо в природі, але те, що закони, відповідальні за рух планет, відповідають і за рух об’єктів на землі. Ньютон також вважав, що Всесвіт можна зрозуміти як математичний об’єкт, і описав Бога як “досвідченого в механіці та геометрії”.

Яка кар’єра базується на математиці?

Якщо ви все ще сумніваєтесь у всюдисущій та суттєвій ролі математики у професійному світі (і, отже, у наскільки важлива математика в житті людини), будьте готові змінити свою точку зору.

Ця наука, успадкована від античності, становить спільну основу для багатьох професій.

Незалежно від того, чи ви працюєте у розробці ліків, метеорології, розробці медичних приладів, використанні статистичних даних, управлінні особистими даними за допомогою криптографії чи в більш абстрактному світі чистої математики, використовується та сама мова.

Арифметика, алгебра, комплексні числа та ймовірність – це всі елементи великої дисципліни, якою є математика; та, яка формує наше повсякденне життя.

Наприклад, астрономи, які шукають життя на інших планетах, статистики, які використовують математику для вивчення потоків населення, і бухгалтери, що вимірюють торговельний баланс фірм і країн: усі вони навчалися математиці.

Хоча математика відкриває різноманітні двері у кар’єрному плані, найпоширенішими робочими місцями, де потрібна ця наука є:

• бухгалтер
• інвестиційний менеджер
• банкір
• статистик
• аналітик даних
• дослідник (математики)
• викладач (математики)
• метеоролог
• комп’ютерний інженер

Якщо ви шукаєте кар’єру в галузі фінансів, тоді потрібен певний рівень математичної кваліфікації, але вам не обов’язково потрібен науковий ступінь.

Окрім фінансового сектора, є такі галузі, як машинобудування та інформаційні технології, де буде мати перевагу той, хто добре володіє цифрами.

Наприклад, знання з математики потребують такі професії, як офіцер розвідки, статистик, оперативний дослідник, академічний математик, викладач математики в початковій чи середній школі, або посади в законодавчих органах влади, ЗМІ, бізнесі чи державному секторі.

Чому математика важлива в професіях?

Нижче наводиться короткий огляд лише деяких галузей та пов’язаних з ними позицій, на яких ви могли б працювати, якщо б ви в основному займалися математикою як предметом.

Математика та вивчення світу

Від вивчення нашої Сонячної системи до репродуктивного циклу тварин та росту рослин математика дуже корисна для розуміння навколишнього світу.

І так, математику можна використовувати навіть для розгадування головоломок та кросвордів!

Чому математика важлива в професіях?

Інженери випробовують матеріали для проектування міцних та безпечних конструкцій, використовуючи розрахунки міцності та щільності матеріалів.

У картографії необхідно точно виміряти кути та намалювати відстані, які дозволять точно представляти місця. Такими знаннями користується не тільки геодезист, а й шукач скарбів, який шукає затонулі уламки кораблів, використовуючи прилади, отримані від компаса.

Ціни на продукти харчування розраховується по відношенню до ціни продукції і передбачуваного попиту. Прогнозований перебіг пандемії визначається шляхом вивчення швидкості передачі збудника. Список використання нескінченний.

Коротше кажучи, все потрапляє під вплив математики, навіть світ спорту професійного рівня!

Навіть коли справа стосується езотерики, математика залишила свій слід. Багато математиків шукали прихований сенс у цифрах та передбачувальних властивостях за допомогою нумерології, не кажучи вже про таємничий золотий перетин, що зустрічається в природі, а також у надзвичайних людських конструкціях, таких як піраміди.

Є також багато математичних рівнянь, які змінили світ!

Як базові математичні навички можуть допомогти у повсякденному житті?

Відсотки – основне математичне поняття – можуть бути використані для обчислення зменшень та з’ясування того, чи варто пропозицією скористатися. Наприклад, знижка на 20% на один товар і ще 10% на інший – це не те саме, що зниження на 30% разом.

Подібним чином, варто розрахувати ціну за кілограм у пропозиціях “купити один, отримай один безкоштовно”, щоб побачити, чи можете ви заощадити на цьому.

Скажімо, у вас є стабільна робота, і ви хочете взяти іпотечний кредит і купити будинок. Відсотки використовуються для аналізу рівня заборгованості, розрахунку графіка амортизації та відображення виплат, сплачених протягом усього терміну позики.

Управління бюджетом – один з невідворотних обов’язків будь-якого підлітка чи дорослого. За допомогою простих операцій, таких як додавання, віднімання, множення та ділення, ви можете зрозуміти свій дохід і витрати, а також визначити скільки у вас є коштів.

Плануєте зробити велику покупку? Загальну вартість у довгостроковій перспективі можна розрахувати, беручи до уваги ймовірний дохід, завдяки математиці.

Хтось колись говорив, що математика в житті людини не має значення?

Математика та геометрія у вашому домі

Давайте поговоримо про геометрію!

Уявіть, що ви плануєте побудувати власний будинок. Спочатку ви обчислюєте обсяги та розміри і поступово реалізовуєте свої проекти як 2D-плани.

Після завершення будівництва вам потрібно буде облаштувати простір. Ось як виконувати свій проект за допомогою геометрії:

• Візьміть аркуш формату А3
• Зверніть увагу на розміри кімнати, яку потрібно обставити
• Візьміть аркуші кольорового паперу і виріжте фігури, що представляють диван, обідній стіл тощо.
• Пограйте з різними конфігураціями меблів, пересуваючи кольорові коробки навколо, беручи до уваги прохідні місця, необхідні для зручного руху

Це схоже на математичні ігри для дітей? Але який кращий спосіб вивчити математику!

Використання математики у здоров’ї

Життя людини на самій ранній стадії його розвитку можна побачити внутрішньоутробно за допомогою ультразвуку: Коли плод лише трохи більший від квасолі, його можна візуалізувати і почути серцебиття.

Невдало впав? Медична візуалізація може бути використана для визначення будь-яких переломів за допомогою рентгенівського знімка, розробленого за допомогою математики, або МРТ-сканування.

Практичне застосування математики використовується в онкології для розуміння мутації клітин та розробки лікувальних методів, які допомагають врятувати багато життів.

Намагаючись боротися з хворобами та травмами, статистики аналізують результати досліджень, проведених із використанням добровольців, з метою виявлення моделей для просування досліджень нових препаратів.

За допомогою цих кількох прикладів ми можемо побачити роль математики у нашому повсякденному житті, в індивідуальному, соціальному, планетарному та галактичному масштабах.

Хіба не захоплююче бачити, як нескінченно мале може допомогти нам зрозуміти нескінченно велике?