Трикутник. Формули та властивості трикутників.

Означення. Трикутник – фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, які попарно з’єднують ці точки. Точки називають вершинами трикутника, а відрізки – його сторонами.

Типи трикутників

За величиною кутів

За кількістю рівних сторін

Вершини, кути та сторони трикутника

Властивості кутів та сторін трикутника

У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут і навпаки. Проти рівних сторін лежать рівні кути: якщо α > β , тоді a > b якщо α = β , тоді a = b

Сума довжин двох будь-яких сторін трикутника більша за довжину сторони, що залишилася: a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусів

Теорема косинусів

Квадрат будь-якої сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін трикутника мінус подвійний добуток цих сторін на косинус кута між ними. a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема про проекції

Формули для обчислення довжин сторін трикутника

Формули сторін через медіани a = 2 3 √ 2( m_b 2 + m_c 2 ) – m_a 2 b = 2 3 √ 2( m_a 2 + m_c 2 ) – m_b 2 c = 2 3 √ 2( m_a 2 + m_b 2 ) – m_c 2

Медіани трикутника

Означення. Медіана трикутника ― відрізок усередині трикутника, який з’єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Властивості медіан трикутника:

Медіани трикутника перетинаються в одній точці. (Точка перетину медіан називається центроїдом)

Трикутник ділиться трьома медіанами на шість рівновеликих трикутників. S_∆AOF = S_∆AOE = S_∆BOF = S_∆BOD = S_∆COD = S_∆COE

Формули медіан трикутника

Формули медіан трикутника через сторони

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Бісектриси трикутника

Властивості бісектрис трикутника:

Бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, рівновіддаленій від трьох сторін трикутника, – центрі вписаного кола.

Бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні прилеглим сторонам трикутника

Формули бісектрис трикутника

Формули бісектрис трикутника через сторони:

де p = a + b + c 2 – напівпериметр трикутника

Формули бісектрис трикутника через дві сторони і кут:

Висоти трикутника

Означення. Висотою трикутника називається перпендикуляр, опущений з вершини трикутника на пряму, що містить протилежну сторону.

• бути всередині трикутника – для гострокутного трикутника;
• збігатися з його стороною – для катета прямокутного трикутника;
• проходити поза трикутником – для гострих кутів тупокутного трикутника.

Властивості висот трикутника

Формули висот трикутника

Коло вписане в трикутник

Означення. Коло називається вписаним у трикутник, якщо воно дотикається до всіх трьох його сторін.

Властивості кола вписаного в трикутник

Формули радіусу кола вписаного в трикутник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Коло описане навколо трикутника

Означення. Коло називається описаним навколо трикутника, якщо воно містить усі вершини трикутника.

Властивості кола описаного навколо трикутника

Центр описаного навколо трикутника кола лежить на перетині серединних перпендикулярів до його сторін.

Центр описаного кола лежить усередині гострокутного трикутника, зовні тупокутного трикутника, на середині гіпотенузи прямокутного трикутника.

Формули радіуса кола описаного навколо трикутника

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Зв’язок між вписаним та описании колами трикутника

Середня лінія трикутника

Властивості середньої лінії трикутника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

3. Середня лінія відсікає трикутник, подібний до цього, площа якого дорівнює чверті площі вихідного трикутника

4. При перетині всіх трьох середніх ліній утворюються 4 рівні трикутники, подібних (навіть гомотетичних) вихідному з коефіцієнтом 1/2.

Ознаки. Якщо відрізок паралельний одній із сторін трикутника і з’єднує середину сторони трикутника з точкою, що лежить з іншого боку трикутника, цей відрізок – середня лінія.

Периметр трикутника

Периметр трикутника ∆ ABC дорівнює сумі довжин його сторін

Формули площі трикутника

Формула площі трикутника по стороні та висоті
Площа трикутника дорівнює половині добутку довжини сторони трикутника на довжину проведеної до цієї сторони висоти

Формула Герона

Формула площі трикутника за двома сторонами та кутом між ними
Площа трикутника дорівнює половині добутка двох його сторін помноженого на синус кута між ними.

Формула площі трикутника по трьох сторонах і радіусу вписаного кола
Площа трикутника дорівнює добутку напівпериметра трикутника на радіус вписаного кола.

Рівність трикутників

Властивість. У рівних трикутників рівні їх відповідні елементи. (У рівних трикутниках проти рівних сторін лежать рівні кути, проти рівних кутів лежать рівні сторони)

Ознаки рівності трикутників

Перша ознака рівності трикутників – за двома сторонами та кутом між ними

Якщо дві сторони та кут між ними одного трикутника відповідно дорівнюють двом сторонам і куту між ними іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Друга ознака рівності трикутників – за стороною та двом прилеглим кутам

Якщо сторона і два кути, що прилягають до неї одного трикутника, відповідно рівні стороні і двом прилеглим до неї кутам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Третя ознака рівності трикутників – за трьома сторонам

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам іншого трикутника, то такі трикутники рівні.

Подібність трикутників

Означення. Подібні трикутники – трикутники відповідні кути яких рівні, а відповідні сторони пропорційні.

∆АВС ~ ∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

де k – коефіцієнт подібності

Ознаки подоби трикутників

Перша ознака подоби трикутників

Друга ознака подібності трикутників

Третя ознака подоби трикутників

Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого, а кути між цими сторонами рівні, то такі трикутники подібні.

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Прямокутний трикутник – визначення та приклади

Прямокутний трикутник є однією з найважливіших фігур у геометрії та є основою тригонометрії.

Прямокутний трикутник характеризуються тим, що має кут 90 градусів. Сторони, які утворюють прямий кут, називають катетами, а сторону, протилежну до прямого кута – гіпотенузою.

В даній публікації ми обговоримо визначення прямокутного трикутника, його властивості та розглянемо кілька прикладів та практичних запитань.

Що таке прямокутний трикутник?

Прямокутний трикутник – це трикутник, один з кутів якого дорівнює 90 градусів.

Прямокутні трикутники мають три сторони: «основу», «гіпотенузу» та «висоту». Кут між основою та висотою дорівнює 90 градусів. Цей трикутник є дуже важливою фігурою в математиці, оскільки він дає початок теоремі Піфагора.

Нагадаємо, що теорема Піфагора говорить, що квадрат довжини гіпотенузи дорівнює сумі квадратів довжин інших сторін (катетів). Наприклад, у прямокутному трикутнику ABC зображеному вище, BC – гіпотенуза, оскільки це сторона, протилежна куту 90 градусів, а AB та AC – катети (висота і основа).

Властивості прямокутного триктуника.

Ось найважливіші властивості прямокутних трикутників:

• один з кутів прямокутного трикутника завжди дорівнює 90°;
• сторона протилежна до прямого кута – гіпотенуза;
• гіпотенуза – це завжди найдовша сторона;
• сума гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює 90°;
• якщо у прямокутному трикутнику один з гострих кутів дорівнює 30°, то протилежний цьому куту катет буде дорівнювати половині гіпотенузи;
• якщо катет прямокутного трикутника дорівнює половині гіпотенузи, то кут, що лежить проти цього катета, дорівнює 30°;
• медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи;
• медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює радіусу кола, описаного навколо трикутника;
• якщо описати коло навколо прямокутного трикутника, то гіпотенуза буде діаметром цього кола;
• у прямокутному трикутнику сума катетів дорівнює сумі діаметрів вписаного й описаного кіл;
• якщо один із кутів дорівнює 90°, а кожен з двох інших – 45°, то трикутник називається рівнобедреним прямокутним трикутником (сторони, прилеглі до кута 90°, рівні).

Приклади задач та практичних запитань на тему «Означення і властивості прямокутного трикутника».

Приклад 1: що таке прямокутний трикутник у геометрії?

Трикутник, у якого мір одного з кутів дорівнює 90 градусів, називається прямокутним трикутником.

Приклад 2: як знайти кут прямокутного трикутника?

Розрахувати кути прямокутного трикутника дуже просто. Один з його кутів є прямим, тобто дорівнює 90°.

Тепер, якщо відомий ще один кут, то відсутній кут можна легко обчислити за допомогою теореми про суму внутрішніх кутів трикутника (стверджує, що сума кутів будь-якого трикутника завжди дорівнює 180°).

Приклад 3: чи може прямокутний трикутник мати дві рівні сторони?

Так, прямокутний трикутник може мати дві рівні сторони. Найбільшу сторону прямокутного трикутника називають гіпотенузою, а дві інші сторони можуть дорівнювати або не дорівнювати одна одній.

Прямокутний трикутник, який має дві рівні сторони, називається рівнобедреним прямокутним трикутником.

Приклад 4: чи можуть величини 8 см, 15 см і 17 см бути розмірами сторін прямокутного трикутника?

Зазначимо, що перевірити, чи задані числа утворюють три сторони прямокутного трикутника ми можемо за допомогою теореми Піфагора. В результаті матимемо:

Таким чином, задані числа є трійкою Піфагора, тобто, можуть бути розмірами сторін прямокутного трикутника.

Приклад 5: катети прямокутного трикутника рівні 3 см і 4 см. Знайти радіус вписаного та описаного кола.

Зазначимо, що радіус описаного кола знайти найлегше – він рівний половині гіпотенузи. Обчислюємо її довжину за теоремою Піфагора:

Далі, скориставшись властивістю, яка говорить, що у прямокутному трикутнику сума катетів дорівнює сумі діаметрів вписаного й описаного кіл матимемо:

Таким чином, радіус вписаного та описаного кола прямокутного трикутника дорівнює 1 см та 2.5 см відповідно.

Дивіться також:

Хочете дізнатися більше про прямокутний трикутник? Перегляньте ці сторінки: