✅Рівнобедрений прямокутний трикутник

✅ І рівнобедрений, і прямокутний трикутник досить звичні будь-кому, хто знайомий з геометрією. Поєднання цих ознак зустрічається досить рідко і погано піддається візуальному сприйняттю.

Не завжди можна представити повний набір властивостей такого трикутника, тому поговоримо про нього детальніше.

Визначення

Трикутник – це трикутник, бічні сторони якого рівні. Прямокутний трикутник містить в собі прямий кут. Значить рівнобедрений прямокутний трикутник – це прямокутний трикутник, катети якого дорівнюють.

Гіпотенуза прямокутного трикутника завжди більше катета. Це випливає з теореми про співвідношення сторін і кутів трикутника. Значить, в прямокутному трикутнику тільки гіпотенуза може бути підставою, а величина гіпотенузи буде відповідати довжині основи.

Властивості

Поговоримо докладніше про властивості і формулах. Не зовсім ясно, як будуть пролягати висоти в такому трикутнику, всі звикли користуватися властивістю, яке говорить про те, що в трикутник висота, проведена до основи, збігається з медіаною і бісектрисою.

У рівнобедреному прямокутному трикутнику така висота завжди буде спрямована з прямого кута до гіпотенузи. А дві інші висоти будуть збігатися з катетами.

Якщо до гіпотенузи прямокутного рівнобедреного трикутника провести висоту, то вона розділить трикутник на два, рівних між собою, рівнобедрених прямокутних трикутника.

Теорема Піфагора для рівнобедреного трикутника виглядає трохи більш спрощеною:

Квадрат гіпотенузи дорівнює подвоєному квадрату катета. Це значно спрощує рішення.

Взагалі, будь-які завдання, пов’язані з прямокутними рівнобокими трикутниками вирішуються дуже просто. Будь-якого значення досить, щоб визначити все інше. Значення будь-якого з катетів досить, щоб визначити гіпотенузу через спрощену теорему Піфагора, а потім знайти периметр і площу прямокутного рівнобедреного трикутника.

Через гіпотенузу можна знайти катет через тригонометричну функцію, оскільки всі кути прямокутного рівнобедреного трикутника заздалегідь відомі: один кут 90 градусів і два по 45.

Розберемо докладно, чому відомі всі кути. У будь-якому прямокутному трикутнику сума гострих кутів дорівнює 90 градусам. Це випливає із загальної суми кутів в трикутнику, яка завжди дорівнює 180 градусам.

При цьому кути при основі рівнобедреного трикутника, а в нашому випадку це завжди гіпотенуза, завжди рівні. Значить, щоб знайти кожен з гострих кутів при гіпотенузі, потрібно їх суму, тобто 90 градусів, розділити навпіл. Виходить, що кожен з кутів при гіпотенузі прямокутного рівнобедреного трикутника буде дорівнює 45 градусам.

Можна розглянути це властивість і з іншого боку: якщо сума двох кутів трикутника дорівнює 90 градусам і ці кути рівні між собою, то цей трикутник є рівнобедреним і прямокутним.

З цього ж властивості виникає рівність синусів і косинусів усіх гострих кутів між собою, а так само рівність тангенсів і котангенсів.

Тобто, синус будь-якого гострого кута трикутника дорівнює косинусу будь-якого гострого кута трикутника і дорівнює 0. Тангенс будь-якого гострого кута трикутника дорівнює Котангенс будь-якого гострого кута трикутника і дорівнює 1.

Що ми дізналися?

Ми докладно поговорили про всіх взаємозв’язках властивостей прямокутного і рівнобедреного трикутника. А також про те, як ці зв’язки проявляються в рівнобедреному прямокутному трикутнику.

Розібрали в подробицях, чому будь-які завдання на знаходження параметрів прямокутного рівнобедреного трикутника легко вирішуються і виділили основну і єдину проблему в рішеннях таких завдань: труднощі візуального сприйняття.

1. Прямокутні трикутники

Сторона прямокутного трикутника, протилежна прямому куту, називається гіпотенузою, дві інші сторони — катетами.

Користуючись ознаками рівності трикутників і теоремою про суму кутів трикутника, можна сформулювати ознаки рівності характерні тільки для прямокутних трикутників:

\(1.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за двома катетами
Якщо два катети одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого прямокутного
трикутника, то такі трикутники рівні.

\(2.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за катетом і прилеглим гострим кутом
Якщо катет і прилеглий до нього гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету
й прилеглому до нього гострому куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

\(3.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за катетом і протилежним кутом
Якщо катет і протилежний йому кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють катету й протилежному йому куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

\(4.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою й гострим кутом
Якщо гіпотенуза й гострий кут одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й гострому
куту другого прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

\(5.\) Ознака рівності прямокутних трикутників за гіпотенузою й катетом
Якщо гіпотенуза й катет одного прямокутного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі й катету другого
прямокутного трикутника, то такі трикутники рівні.

Катет прямокутного трикутника, що лежить навпроти кута 30 ° \(,\) дорівнює половині гіпотенузи (гіпотенуза удвічі довша від катета навпроти кута 30 ° ).