Зміст:

Квадрат. Формули та властивості квадрата

Квадрат – це чотирикутник, у якого всі чотири сторони та кути однакові. Квадрати відрізняються між собою тільки довжиною сторони, але всі чотири кути у них прямі, тобто по 90°.

Основні властивості квадрату

Квадратом також можуть бути паралелограм, ромб або прямокутник якщо вони мають однакові довжини діагоналей, сторін та однакові кути.

7. Діагоналі квадрата перетинаються під прямим кутом, і розділяють одна одну навпіл:

8. Точка перетину діагоналей називається центром квадрату і також є центром вписаного та описаного кола

ΔABC = ΔADC = ΔBAD = ΔBCD
∠ACB = ∠ACD = ∠BDC = ∠BDA = ∠CAB = ∠CAD = ∠DBC = ∠DBA = 45°

10. Обидві діагоналі розділяють квадрат на чотири рівні трикутника, до того ж ці трикутники одночасно і рівнобедрені, і прямокутні:

Діагональ квадрата

Діагоналлю квадрата називається будь-який відрізок, який сполучає дві вершини протилежних кутів квадрата.

Формули визначення довжини діагоналі квадрата

Периметр квадрата

Формули визначення довжини периметра квадрата

Площа квадрата

Площею квадрата називається простір який обмежений сторонами квадрата, тобто в межах периметру квадрата.

Формули площі квадрата

Коло, описане навколо квадрата

Колом, описаним навколо квадрата, називається таке коло, яке проходить тільки через чотири вершини кутів квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрату.

Радіус кола, описаного навколо квадрата, завжди більший за радіус вписаного кола в √ 2 разів.

Радіус кола, описаного навколо квадрата, дорівнює половині діагоналі.

Площа круга, описаного навколо квадрата, більша площі того же квадрата в π/2 раз.

Формули визначення радіуса кола описаного навколо квадрата

Коло, вписане в квадрат

Колом, вписаним в квадрат, називається коло, яке дотикається до середин сторін квадрата і має центр на перетині діагоналей квадрата.

Радіус вписаного кола дорівнює половині сторони квадрата.

Площа круга, вписаного в квадрат, менша площі квадрата в 4/π рази.

Формули визначення радіуса кола, вписаного в квадрат

Будь-які нецензурні коментарі будуть видалені, а їх автори занесені в чорний список!

Вітаю всіх користувачів OnlineMSchool.
Мене звати Довжик Михайло Вікторович. Я власник і автор цього сайту, мною написано весь теоретичний матеріал, а також розроблені онлайн вправи та калькулятори, якими Ви можете скористатися для вивчення математики.

Якщо Ви бажаєте зв’язатися зі мною, маєте питання, пропозиції або бажаєте допомогти розвитку сайту OnlineMSchool пишіть мені [email protected]

Діагональ квадрата – формули та приклади

У геометрії квадрат – це правильний чотирикутник, у якого чотири сторони однакової довжини та чотири кути, що дорівнюють 90 градусів.

Діагональ квадрата – це відрізок, що з’єднує будь-які дві його несуміжні вершини. Всякий квадрат має дві діагоналі, які дорівнюють одна одній.

Виходячи з того, що діагональ квадрата є гіпотенузою одного з двох прямокутних трикутників на які вона ділить квадрат, то довжину діагоналі можна знайти за допомогою формули, яка випливає з теореми Піфагора.

Зазначимо, що в даній публікації ми дізнаємося про формулу, за якою можна визначити довжину діагоналі квадрата. Крім того, ми розглянемо кілька прикладів, у яких будемо використовувати цю формулу.

Як знайти діагональ квадрата?

Отже, як зазначалося вище, діагональ квадрата можна обчислити за допомогою формули, отриманої з теореми Піфагора. Розглянемо квадрат зі сторонами довжина яких дорівнює .

Зазначимо, що прямі і є діагоналями цього квадрата.

Як видно з рисунка, кожна діагональ квадрат ділить його на два рівних прямокутних трикутника. Скористаємось одним з цих трикутників, щоб обчислити довжину діагоналі.

Виходячи з того, що , останнє рівняння перепишеться у наступному вигляді:

Отже, довжина діагоналі квадрата дорівнює:

Властивості діагоналей квадратів такі:

діагоналі квадрата рівні і перпендикулярні;
діагоналі квадрата є бісектрисами його кутів;
діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикутники.

Діагональ квадрата – приклади з відповідями.

Наступні приклади розв’язуються за допомогою формули обчислення діагоналі квадрата (1). Спробуйте самостійно їх розв’язати, перш ніж дивитися на розв’язання.

Приклад 1: сторони квадрата дорівнюють . Яка довжина його діагоналі?

Скориставшись формулою (1), матимемо:

Отже, діагональ квадрата має довжину .

Приклад 2: яка довжина діагоналі квадрата зі сторонами ?

Знову-таки, скориставшись формулою (1), отримаємо:

Звідси, діагональ квадрата має довжину .

Приклад 3: діагональ квадрата дорівнює . Яка довжина його сторін?

Зазначимо, що у цьому випадку ми починаємо з діагоналі та хочемо знайти довжину сторін. Тому, скористаємося формулою діагоналі (1) та знайдемо сторону:

Отже, довжина сторін квадрата дорівнює .

Приклад 4: діагональ квадрата дорівнює . Яка довжина його сторін?

Отже, як і у попередньому прикладі, використовуємо формулу діагоналі квадрата, підставляємо значення довжини діагоналі та знаходимо сторону:

Таким чином, довжина сторони квадрата дорівнює .

Приклад 5: діагональ квадрата дорівнює . Його сторона дорівнює діагоналі іншого квадрата. Знайдіть сторону цього квадрата.

Отже, нехай в квадраті діагональ дорівнює .

Як зазначалося вище, діагоналі квадрата рівні, в точці перетину діляться навпіл і є взаємно перпендикулярними. Тому, трикутник – рівнобедрений та прямокутний.

Добудувавши даний трикутник до прямокутника , отримаємо квадрат із діагоналлю, що дорівнює стороні квадрата . Тоді: