Який градус у колаЯкий градус у кола

0 Comment

Коло, круг, сегмент, сектор. Формули та властивості кола

Означення. Коло — це сукупність усіх точок на площині, які знаходяться на однаковій відстані від заданої точки О, яка називається центром кола.

Основні властивості кола

5. Якщо два кола дотикаються в одній точці, то ця точка лежить на прямій, що проходить через центри цих кіл.

Формули довжини кола та площі круга

Формули довжини кола

Формули площі круга

Рівняння кола

2. Рівняння кола з радіусом r та центром у точці з координатами ( a, b ) в декартовій системи координат:

3. Параметричне рівняння кола з радіусом r та центром у точці з координатами ( a, b ) в декартовій системи координат:

Дотична до кола та її властивості

Основні властивості дотичних до кола

3. Якщо дві дотичні, з точками дотику B та C, на одному колі не паралельні, то вони перетинаються в точці A, а відрізок між точкою дотику та точкою перетину однієї дотичної дорівнює такому ж відрізку на іншій дотичній:

Також, якщо провести пряму через центр кола О та точкою перетину A цих дотичних, то кут утворений між однією дотичною і цією прямою, буде дорівнювати куту між іншою дотичною та цією прямою:

Січна кола та її властивості

Основні властивості січних

1. Якщо з точки поза колом (Q) виходять дві січні, які перетинають коло у двох точках A і B для однієї січної та C і D для іншої січної, то добутки відрізків двох січних рівні між собою:

2. Якщо з точки поза колом Q виходить січна, що перетинає коло у двох точках A і B, та дотична з точкою дотику C, то добуток відрізків січної дорівнює квадрату довжини відрізка дотичної:

Властивості Кола: Розгляд та Застосування у Геометричних Задачах

Коло – це особлива геометрична фігура, яка виникає, коли ми об’єднуємо точки, що розташовані на фіксованій відстані від точки, що має спеціальне значення – центр кола. Властивості кола роблять його цікавим об’єктом у геометрії, де вони відіграють важливу роль у розумінні просторових відношень. Основні характеристики, такі як діаметр, хорда та дотична, розкривають перед нами основу для вивчення цих властивостей.

У цій статті ми зосередимо свою увагу на вивченні всіх властивостей кола пов’язаних з зазначеними вище характеристиками та розв’яжемо декілька прикладів, щоб допомогти зрозуміти їхнє застосування в геометричних завданнях.

Детальний Огляд: Основні Властивості Кола

Основні властивості кола розділяються на кілька груп, що дозволяє більш детально вивчати його характеристики. Нижче перераховано основні групи цих властивостей:

  • геометричні властивості кола, пов’язані з хордою;
  • властивості кола, пов’язані з кутами;
  • всі властивості кола, пов’язані з дотичною;
  • властивості, пов’язані з конциклічним чотирикутником.

Геометричні властивості кола, пов’язані з хордою

Хорда кола – це відрізок, який об’єднує дві точки окружності. Розглянемо основні властивості хорди та їхні взаємозв’язки на прикладі кола з центром O та хордою AB.

  • Перпендикуляр із центру кола на хорду: Якщо провести перпендикуляр із центру кола (точка O) на хорду AB, то цей перпендикуляр поділить хорду навпіл. Іншими словами, AM=MB;
  • Діаметр як найдовша хорда: Діаметр кола є найдовшою хордою. Якщо ми рухаємося від центру O вздовж хорди, її довжина буде зменшуватися;
  • Рівновіддалені хорди: Хорди кола, рівновіддалені від центру (наприклад, AB та CD при умові MO=ON), мають однакову довжину;
  • Розділення кола на сегменти: Якщо хорда AB поділить коло, то вона розділить його на два сегменти – великий сегмент та малий сегмент. Допоміжний сегмент, який залишається під хордою, відомий як малий сегмент;
  • Хорда як січна: Якщо хорда невпинно продовжується у обох напрямках, вона стає січною кола. Це відбувається, коли точки A і B рухаються до безкінечності.

Властивості кола, пов’язані з кутами

У геометрії кола існує декілька важливих властивостей, пов’язаних з вписаними та центральними кутами, які ми розглянемо нижче.

  • Центральний та вписані кути: центральний кут, вдвічі перевищує вписані кути, що спираються на спільну хорду або дугу. До прикладу, на зображенні нижче ∠AOB=2∠APB);
  • Рівність вписаних кутів: вписані кути, що спираються на спільну хорду або дугу, рівні між собою. На зображенні вище ∠AQB=∠APB;
  • Кут на діаметрі кола: кут, який спирається на діаметр кола або на півколо, дорівнює 90°. На наведеному вище зображенні AC є діаметром, тому ∠ABC=90°.

Всі властивості кола, пов’язані з дотичною

Дотична до кола – це пряма лінія, яка торкається окружності лише в одній точці. Ця точка торкання називається точкою дотику. Розглянемо властивості, пов’язані з дотичною, на прикладі кола з центром O та точками дотику A і B.

  • Перпендикулярний радіус: Радіус кола, проведений із центру до точки дотику, є перпендикулярним до дотичної. Іншими словами, OAAM, де AM – дотична, а точка M – точка дотику;
  • Рівність дотичних: Дві дотичні, проведені з однієї точки до кола, мають однакову довжину. Тобто AM=BM, оскільки вони мають спільну початкову точку M;
  • Точка дотику за межами кола: Дотична має лише одну точку дотику і не входить у коло. В даному випадку точки дотику A і B відповідають дотичним AM і BM відповідно;
  • Кутова властивість: Якщо дві дотичні мають спільну точку початку до одного кола, то пряма лінія, проведена з цієї точки до центру кола, ділить кут між дотичними навпіл. Тобто ∠AOM=∠BOM і ∠AMO=∠BMO.

Властивості, пов’язані з конциклічним чотирикутником

Чотирикутник, вписаний у коло, називається конциклічним абр хордальним, оскільки сторони чотирикутника – це хорди вписаного кола. Іншими словами, якщо всі чотири вершини чотирикутника знаходяться всередині кола і дотикаються до окружності зсередини, то цей чотирикутник називається конциклічним.

До прикдажу, на рисунку вище ABCD є конциклічним чотирикутником, оскільки він вписаний у коло. Давайте розглянемо деякі властивості, пов’язані з цим типом чотирикутників:

  • Протилежні внутрішні кути: протилежні внутрішні кути конциклічного чотирикутника є додатковими, тобто їх сума дорівнює 180°. До прикладу, для чотирикутника ABCD зображеного вище маємо, що ∠ADC+∠ABC=180° і ∠DAB+∠BCD=180°;
  • Зовнішній кут та продовжене ребро: якщо будь-яке ребро конциклічного чотирикутника подовжується, то зовнішній кут дорівнює внутрішньому протилежному куту, тобто для розширеного ребра CE маємо, що ∠BCE=∠DAB.

Властивості Кола в Дії: Приклади з Відповідями

Освоївши всі властивості кола, давайте перейдемо до практики і розглянемо конкретні приклади для ще глибшого розуміння цих понять.

Приклад 1: Нехай довжини катетів AC та CB прямокутного трикутника ABC дорівнюють 6 см і 8 см відповідно, і цей трикутник вписано в коло. Знайти площу цього кола.

Використовуючи властивість кола про прямий кут, що спирається на діаметр, ми можемо стверджувати, що AB є гіпотенузою трикутника ABC. Застосовуючи теорему Піфагора, знаходимо її довжину:

Таким чином, гіпотенуза, а отже і діаметр кола AB дорівнює 10 см. Звідси випливає, що радіус кола R=AB/2=5 см. Використовуючи далі формулою S=π·R 2 , маємо:

Отже, площа кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює 78.5 см 2 .

Приклад 2: На маємо коло з центром в точці О. Яка довжина дуги AC, якщо OB=5 см і ∠ABC=30 градусів?

Відомо, що довжина дуги кола обчислюється за формулою L=(π·R·α)/180°, де α – центрального кута дуги. Тобто, для знаходження L, в даному випадку, нам потрібно знати значення двох параметрів: кута α та радіуса кола.

За умовою маємо, що OB=5 см, тобто радіус відомий. Знайдемо ∠AOC.

На рисунку видно, що вписаний кут який спирається на дугу AC дорівнює ∠ABC, а центральний кут – ∠AOC. Таким чином, можна застосувати властивість, згідно з якою вписаний кут дорівнює половині центрального кута, що спирається на ту ж дугу, і визначити ∠AOC:

Тепер ми знаємо як радіус, так і центральний кут. Підставивши їх значення у записану вище формулу, отримаємо:

Отже, довжина дуги AC, заданого кола, дорівнює 5.233 см.

Приклад 3: Лінія CD є дотичною до кола з центром у точці O та діаметром AB. Знайти радіус та довжину AC, якщо CD і BC дорівнюють 20 та 10 сантиметрів відповідно.

Отже, за умовою маємо, що CD є дотичною до кола в точці D. Ми знаємо, що дотична утворює прямий кут із радіусом кола в точці дотику. Отже, ∠CDO=90°.

Нехай радіус кола дорівнює x см. Тоді OB=OD=x см. Використовуючи далі теорему Піфагора для прямокутного трикутника COD, отримуємо:

Отже, радіус кола OB=15 см. Таким чином, довжина AC=AB+2·BO=10+2·15=40 см.

Висновок: Розширюйте Свій Геометричний Світ Разом із Новими Темами!

У цій статті ми детально розглянули властивості кола, розкривши їхні важливі аспекти в контексті хорд, кутів, дотичних та конциклічних чотирикутників. Однак це лише відкриття дверей у захопливий світ геометрії.

Якщо ви зацікавлені у глибшому вивченні кола, рекомендую ознайомитися із наступними темами:

Ці теми дозволять вам глибше вивчати та розуміти принципи геометрії, а також знайти застосування цих знань у різних практичних сферах. Не бійтеся відкривати нові горизонти та вдосконалювати свої знання!